AMC 10 · 2021 · #17
학년 8 probability답을 골라 클릭하세요.
6⁵ = 7776가지 방향 수열을 모두 나열하는 것은 불가능하고, 벌레의 정확한 위치를 계속 추적하는 것도 별로 낫지 않다. 결정적인 관찰은 벌레가 있을 수 있는 격자점이 단 일곱 개, 즉 출발점과 거리가 1인 여섯 점뿐이라는 것이다. 그 여섯 점은 회전에 대해 서로 구별되지 않으므로 정확한 위치는 전혀 중요하지 않고, 중심에 있는지 고리 위에 있는지만 중요하다. 일곱 개의 위치를 두 상태로 접으면 이 무작위 걸음은 손으로 다섯 번 돌릴 수 있는 두 수의 갱신 규칙이 된다. 개수로 세는 방식이 분자를 바로 주고, 같은 규칙을 개수 대신 분수로 한 번 더 돌리면 반드시 일치해야 하는 독립적인 검산이 된다.
안전 구역 그리기
안전 구역을 그립니다.
이 조건은 마지막에만 확인하는 결승선이 아니라 매 이동마다 확인하는 울타리이므로, 문제 전체가 일곱 개의 점 안에서 벌어진다.
4.G.A.1Draw A Diagram각 자리에서 안전한 이동 세기
각 자리에서 안전한 이동을 셉니다.
중심은 어느 방향으로 가도 되는 빈터이지만, 고리 위의 점은 이미 울타리에 붙어 있어서 방향의 절반이 벌레를 바깥으로 내던진다.
8.G.B.8Visualize Spatial Relationships일곱 점을 두 상태로 접기
일곱 점을 두 상태로 접습니다.
똑같이 행동하는 여섯 점에는 이름 하나만 붙이면 되고, 그러면 일곱 점짜리 걸음이 두 개의 수로 줄어든다.
똑같이 행동하는 여섯 점은 하나의 이름을 나눠 가질 만하며, 그러면 걸음이 두 수로 줄어든다.
▸ 왜?
도형의 대칭이 그런 점을 서로 옮기므로, 어느 점에서 보든 규칙이 똑같다.
▸ 왜?
각 점은 정확히 한 상태에 속하므로, 상태들이 겹치지 않고 모든 것을 덮는다.
표를 5단계까지 돌리기
표를 다섯 단계까지 돌립니다.
각 줄은 바로 윗줄만 있으면 되므로, 다섯 줄의 계산이 7776개 경로를 일일이 살피는 일을 대신한다.
4.OA.C.5Look For A Pattern개수를 확률로 바꾸기
개수를 확률로 바꿉니다.
모든 경로가 같은 확률이면 확률은 안전한 경로의 수를 전체 경로의 수로 나눈 것에 지나지 않는다.
7.SP.C.8Identify Subproblems분수로 걸음을 다시 돌리기
분수로 다시 돌리면 108분의 13입니다.
같은 두 상태 규칙에 개수 대신 분수를 태워 돌리는 것은 독립적인 계산이므로 반드시 같은 값에 도달해야 한다.
5.NF.A.1Organize Information In More Ways갈 수 있는 자리는 일곱 개뿐이고 바깥 여섯 개는 모두 똑같이 행동하므로 "중심이냐 고리냐"만 따라가면 된다. 중심에서는 6가지, 고리에서는 3가지 이동이 안전하고, 이 계산을 다섯 번 돌리면 7776개의 경로가 936개로 줄어든다.
- 안전 구역 그리기
- 각 자리에서 안전한 이동 세기
- 일곱 점을 두 상태로 접기
- 표를 5단계까지 돌리기
- 개수를 확률로 바꾸기
- 분수로 걸음을 다시 돌리기