AMC 10 · 2021 · #20

세 가지 확인이 모두 일치한다. 첫째는 이미 돌린 검산이다. 6 + 8 + 12 + 12 + 24 + 6 + 2 = 70이므로 일곱 무더기가 고정된 색칠 70개를 남김없이 소진한다. 둘째는 무더기 크기에 대한 구조적 확인이다. 각 무더기는 24개의 회전이 쓸어 만든 것이므로 그 크기는 24의 약수여야 하는데, 6, 8, 12, 12, 24, 6, 2는 모두 약수이다. 게다가 크기는 그 모양이 얼마나 대칭인지를 알려 준다. 외톨이가 딸린 꺾인 세 개의 무더기는 크기가 24로, 그 모양에는 남은 대칭이 전혀 없다는 뜻이다. 반대로 완전히 떨어진 네 개는 무더기 크기가 2이므로 12개의 회전이 그 모양을 제자리로 되돌린다는 뜻인데, 이는 그 네 정육면체가 정사면체의 꼭짓점을 이룬다는 사실과 맞아떨어진다. 셋째는 색깔 바꾸기이다. 흰색을 전부 파란색으로, 파란색을 전부 흰색으로 바꾸면 쌓기는 다시 쌓기가 되므로 일곱 모양의 목록이 이 교환을 견뎌야 하는데, 실제로 견딘다. 판의 여집합은 반대편 판이고, 삼발이의 여집합은 맞은편 구석을 가운데로 하는 삼발이이며, 나머지 모양의 여집합도 각각 같은 종류의 모양이다. 오답 선택지는 모두 나누면 안 되는 무더기를 나눈 결과이다. 가장 솔깃한 것은 8이다. 완전히 떨어진 네 개짜리 두 집합은 서로 거울상처럼 보여서 달라야 할 것 같지만, 사분의 일 돌리기 한 번이 둘을 맞바꾸므로 한 가지 쌓기이다. 9, 10, 11은 회전이 실제로 되돌려 놓는 방향 차이로 더 많은 모양을 갈라낸 결과이다. 반대 방향으로 틀리면, 즉 계단에 손잡이 방향이 있다는 것을 잊으면 6이 나오는데 이 값은 선택지에 아예 없다. 그 부재 자체가 손잡이 방향이 이 문제의 핵심이라는 힌트이다.