AMC 10 · 2021 · #22
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
두 원의 중심은 직접 주어지지 않았으므로 각을 쫓아가며 푸는 방법은 더디다. 하지만 삼각형이 C에서 직각이고, 두 접선이 바로 두 직각변 CB와 CA이다. C를 원점에 두고 두 직각변을 두 축에 놓으면 그림 전체가 좌표로 바뀐다. 그러면 접한다는 조건이 큰 일을 해 준다. 반지름은 접점에서 접선과 직각으로 만나야 하므로, O는 B를 지나는 세로선 위로, P는 A를 지나는 가로선 위로 강제된다. 즉 각 중심에는 모르는 좌표가 하나씩만 남는다. 그리고 '어떤 점을 지난다'는 조건이 그 하나의 미지수에 대한 식 하나를 만들어 주는데, 제곱항이 소거되어 일차식만 남는다. O를 찾는 일과 P를 찾는 일은 모양이 같은 두 개의 작은 문제이고, 두 중심을 모두 알면 거리 공식으로 끝난다.
직각을 찾아 좌표를 놓기
세 변이 직각삼각형을 이룹니다.
6-8-10 삼각형은 3-4-5를 두 배 한 것이라 직각이 이미 들어 있고, 그 직각을 원점에 두면 두 접선이 그대로 두 축이 된다.
8.G.B.6Draw A Diagram접한다는 조건이 O를 한 직선에 묶는다
접한다는 조건이 중심을 한 직선에 묶습니다.
직선에 한 점에서만 닿으려면 중심은 그 점에서 수직으로 곧장 뻗은 자리에 있을 수밖에 없다.
직선에 한 점에서 닿으면 중심은 그 점에서 수직으로 곧게 나간 자리에 있어야 한다.
▸ 왜?
접선은 접점에서 반지름과 직각으로 만나며, 그것이 그 점에서의 방향을 정한다.
▸ 왜?
원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있으므로, 그 방향으로의 거리가 반지름이다.
A를 지난다는 조건에서 k 구하기
다른 꼭짓점을 지난다는 조건이 위치를 정합니다.
같은 중심에서 잰 두 거리를 같다고 놓으면 제곱항은 언제나 사라진다. 중심 자신의 좌표가 양변에서 똑같이 제곱되기 때문이다.
10.G-GPE.A.1Convert To AlgebraP에 대해 똑같은 두 수를 반복하기
두 번째 원도 같은 두 수를 반복합니다.
두 번째 원은 첫 번째 이야기에서 두 직각변만 맞바꾼 것이라, 새로운 아이디어 없이 같은 두 수로 풀린다.
9.A-REI.B.3Identify Subproblems두 중심 사이의 거리
거리를 재면 12분의 35입니다.
두 중심이 평범한 점이 되고 나면, 거리는 x 차이와 y 차이에 피타고라스 정리를 한 번 쓰는 것일 뿐이다.
8.G.B.8Convert To Algebra원이 어떤 직선의 정해진 점에서 접한다면 중심은 그 점에서 수직으로 곧장 뻗은 자리에 있어야 한다. 접한다는 조건 하나만으로 미지수 하나가 통째로 사라진다.
- 직각을 찾아 좌표를 놓기
- 접한다는 조건이 O를 한 직선에 묶는다
- A를 지난다는 조건에서 k 구하기
- P에 대해 똑같은 두 수를 반복하기
- 두 중심 사이의 거리