AMC 10 · 2021 · #24

학년 11 geometry-2d

power-of-a-pointlaw-of-cosinesangle-bisector-theoremcyclic-quadrilateral work-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: law-of-cosinespower-of-a-point

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

삼각형의 세 변이 11, 24, 20입니다. 한 각의 이등분선이 마주 보는 변을 지나 외접원과 다시 만납니다. 그 두 점과 한 꼭짓점을 지나는 두 번째 원이 한 변의 직선과 한 점 더 만납니다. 그 점에서 남은 꼭짓점까지의 거리를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$20\sqrt{2}$

(C)

(D)

(E)

$20\sqrt{3}$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

F는 이등분선, 원 하나, 그리고 또 원 하나로 이어지는 긴 사슬 끝에 놓여 있어서 그 사슬을 따라 위치를 추적하는 것은 몹시 고통스럽다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 풀이의 전부다. D, E, F가 어디에 있는지 묻기를 그만두고, 오직 A에서 잰 거리들의 곱만 묻는 것이다. 마침 두 원이 모두 그 하나의 언어를 쓴다. △ ABC의 외접원은 이등분선에 대해 AD · AE = AB · AC라고 말하고, B, D, E, F를 지나는 원은 A에서 나가는 두 직선이 같은 곱으로 잘린다고, 즉 AF · AB = AD · AE라고 말한다. 이 둘을 이으면 원하지 않던 AD와 AE는 한 번도 계산되지 않은 채 그대로 지워진다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 어디를 겨눌지 미리 정해 준다. CF는 △ AFC의 한 변이므로 AF와 ∠ FAC만 알면 코사인법칙이 끝을 낸다. 바로 이 점이 AF를 쫓을 가치가 있는 목표로 만든다. 도구 #1(그림 그리기)은 F가 B 너머에 떨어진다는 사실을 보기 위해 필요하고, 그 사실 덕분에 ∠ FAC는 삼각형 자신의 각 ∠ BAC와 같아진다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각각 코사인법칙 한 번인 두 개의 계산 조각을 맡는다. 먼저 주어진 세 변에서 cos∠ BAC를, 그다음 CF 자체를 구한다.

1STEP 1

두 원을 그리고 F를 찾기

두 원을 그리고 새 점을 찾습니다.

AB=11, BC=24, CA=20; A,D,E는 공선, A,B,F는 A,B,F 순서로 공선, B,D,E,F는 한 원 위

2STEP 2

삼각형 AFC로 거꾸로 올라가기

목표 삼각형으로 거꾸로 올라갑니다.

CF² = AF² + AC² - 2 · AF · AC·cos∠ FAC, 여기서 AC = 20이고 ∠ FAC = ∠ BAC

3STEP 3

세 변에서 cos A 구하기

세 변에서 각의 코사인을 구합니다.

24² = 11² + 20² - 2 · 11 · 20cos∠ BAC → 576 = 521 - 440cos∠ BAC → cos∠ BAC = -55/440 = -1/8

4STEP 4

첫 번째 원: 이등분선의 곱 AD·AE

첫 원이 같은 곱을 줍니다.

∠ BAD = ∠ EAC, ∠ ABD = ∠ AEC → △ ABD ∼ △ AEC → AB/AE = AD/AC → AD · AE = AB · AC = 220

5STEP 5

두 번째 원: 그 곱을 AF로 바꾸기

둘째 원이 그 곱을 길이로 바꿉니다.

△ ADB ∼ △ AFE → AD/AF = AB/AE → AF · AB = AD · AE = 220 → AF = 220/11 = 20

6STEP 6

이등변삼각형에서 마무리

이등변삼각형에서 마무리하면 30입니다.

AF = AC = 20 → CF² = 20² + 20² - 2 · 20 · 20·(-1/8) = 400 + 400 + 100 = 900 → CF = 30

정답

가장 강력한 점검은 AF = AC = 20이 우연이 아니라는 사실이다. 직선 AE가 ∠ BAC를 이등분하는데, F와 C는 그 직선의 양쪽에 하나씩, A로부터 똑같이 20만큼 떨어져 앉아 있다. 이는 F가 직선 AE에 대한 C의 거울상이며 AFEC가 연꼴이라는 뜻이다. 이런 구조적 우연은 계산이 제 궤도에 있다는 강한 신호이고, 동시에 독립적인 마무리를 하나 더 준다. 대칭이므로 CF ⊥ AE이고 CF = 2 · AC·sin(∠ BAC)/2인데, 반각 항등식에서 sin² (∠ BAC)/2 = (1 - cos∠ BAC)/2 = (1 + 1/8)/2 = 9/16이므로 sin(∠ BAC)/2 = 3/4이고 CF = 2 · 20·3/4 = 30이다. 같은 답, 다른 경로다. 크기 점검도 통과한다. CF = 30은 삼각형의 어느 변보다도 길고, 이는 옳다. F는 B를 지나 삼각형 바깥에 있고 C는 밑변의 반대쪽 끝에 있기 때문이다. 오답 선택지들은 cos∠ BAC를 계산하지 않고 짐작했을 때 정확히 나오는 값들이다. A가 직각이라고 짐작해 cos = 0으로 두면 CF² = 400 + 400 = 800이 되어 20√(2), 곧 (B)가 나온다. 120°라고 짐작해 cos = -1/2로 두면 CF² = 400 + 400 + 400 = 1200이 되어 20√(3), 곧 (E)가 나온다. (A) 28과 (D) 32는 정답을 양쪽에서 감싸며, 마지막 줄의 작은 계산 실수 — cos∠ BAC의 부호를 빠뜨리거나 400 + 400 + 100을 잘못 더하는 것 — 를 낚는다.

💡핵심 정리

점이 원의 사슬로 만들어졌을 때는 그 점이 어디 있는지 쫓지 말고, 바깥의 한 점을 지나는 모든 직선이 공유할 수밖에 없는 거리의 곱을 쫓아라. 그 곱이 정작 필요한 길이 하나를 건네준다.

두 원을 그리고 F를 찾기
삼각형 AFC로 거꾸로 올라가기
세 변에서 cos A 구하기
첫 번째 원: 이등분선의 곱 AD·AE
두 번째 원: 그 곱을 AF로 바꾸기
이등변삼각형에서 마무리