AMC 10 · 2021 · #9
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
그림이 수로 바뀌기 전에는 아무것도 잴 수 없으므로, 도구 #1(그림 그리기)로 시작한다. AC를 x축 위에 평평하게 놓고 그 중점을 원점에 두는 것이다. 그러면 그림이 선물을 하나 건네주는데, 이것을 알아채는 것이 도구 #17(공간 상상하기)의 몫이다. 전체 도형은 그 중점을 지나는 수직선에 대해 뒤집어도 그대로이고, 정체를 모르는 두 중심 — 내심 O와 새 원의 중심 — 이 모두 그 한 직선 위에 묶인다. 평면 어디에나 있을 수 있던 점이 이제 수 하나로 설명된다. 진짜 계산은 여기서 도구 #4(변수 도입하기)가 맡는다. 그 수에 이름을 붙이고 "여기에서까지의 거리와 저기에서까지의 거리가 같다"가 무슨 뜻인지 적어 내려가면, 제곱항이 서로 지워지면서 쉬운 방정식 하나만 남는다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 순서를 정한다. 먼저 O를 찾고, 그 O를 써서 새 중심을 찾는다. 각각은 두 줄짜리 계산이지만 한꺼번에 덤비면 그렇지 않기 때문이다.
AC를 x축 위에 평평하게 놓기
한 변을 축 위에 평평하게 놓습니다.
축을 어디에 놓을지는 마음대로이니, 도형의 대칭축이 y축이 되도록 놓으면 된다.
8.G.B.7Draw A Diagram대칭이 O를 대칭축 위에 가둔다
대칭이 중심을 대칭축 위에 가둡니다.
거울이 도형을 그대로 둔다면, 그 도형만으로 정해지는 것 — 내접원의 중심 같은 것 — 도 그대로 두어야 한다.
거울이 도형을 그대로 둔다면, 그 도형만으로 정해지는 것도 그대로 두어야 한다.
▸ 왜?
대칭이동은 도형을 늘리지 않고 자기 위로 옮기므로, 거기서 나온 점도 그런 점으로 옮겨진다.
▸ 왜?
자기 자신으로 옮겨져야 하는 점은 거울선 위에 있어야 하며, 그 선이 수직이등분선이다.
O의 높이 확정하기
내접원 중심의 높이를 확정합니다.
거리 대신 거리의 제곱을 비교하면 근호가 사라지고, 남는 방정식은 일차식처럼 단순하다.
8.EE.C.7Introduce A Variable새 중심도 같은 직선 위에 있다
새 중심도 같은 직선 위에 있습니다.
두 점에서 같은 거리에 있다는 말은 언제나 그 두 점의 수직이등분선 위에 있다는 뜻이고, 평면 전체를 뒤지던 일이 직선 하나를 훑는 일로 줄어든다.
8.G.B.8Introduce A VariableR²를 구하고 마무리하기
반지름의 제곱을 구하면 넓이는 12파이입니다.
넓이 공식에는 어차피 R²만 필요하므로, 도중에 근호를 벗길 이유가 없다.
7.G.B.4Introduce A Variable두 점이 그림의 대칭축 위에 놓여 있으면, 그 두 점을 지나는 원의 중심도 반드시 그 대칭축 위에 있으므로, 평면 전체가 아니라 직선 하나만 훑으면 된다.
- AC를 x축 위에 평평하게 놓기
- 대칭이 O를 대칭축 위에 가둔다
- O의 높이 확정하기
- 새 중심도 같은 직선 위에 있다
- R²를 구하고 마무리하기