AMC 10 · 2022 · #12

학년 11 geometry-3d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

equilateral-trianglemedian-of-trianglepythagorean-theoremlaw-of-cosinessimilar-figures spatial-visualizationidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremlaw-of-cosines

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

정사면체는 네 면이 모두 합동인 정삼각형이라 여섯 모서리의 길이가 모두 같습니다. 한 모서리의 중점을 잡고, 그 모서리에 놓이지 않은 두 꼭짓점으로 선분을 그립니다. 중점에서 두 선분이 이루는 각의 코사인 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac14$

(B)

$\frac13$

(C)

$\frac25$

(D)

$\frac12$

(E)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

사면체는 머릿속에 붙들고 있기 어려운 도형이라, 도구 #17(공간 상상하기)이 문제를 쉽게 만드는 결정적인 한 수를 둡니다. 묻는 각은 점 세 개만으로 정해지고, 점 세 개는 언제나 한 평면 위에 놓인다는 사실을 알아채는 것입니다. 그러면 입체는 평평한 삼각형 CMD로 접히고, 입체 문제가 아무것도 잃지 않은 채 평면 문제가 됩니다. 그다음부터 할 일의 모양은 정해져 있습니다. 그 삼각형의 세 변을 구하고, 거기서 각을 읽어 내는 것입니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 빠진 크기를 처리합니다. 모서리 길이가 주어지지 않았다는 것은 답이 크기와 무관하다는 뜻이므로 모서리를 그냥 1로 놓아도 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)이 모서리가 아닌 두 길이를 공급합니다. 면 ABC와 면 ABD를 각각 종이 위에 평평하게 펴서 그리면 MC와 MD가 정삼각형의 중선이라는 것이 눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 한 면 안에 숨어 있는 직각삼각형을 끄집어내면 피타고라스 정리가 그 길이를 마무리합니다. 도구 #3(가능성 지우기)에는 공식을 쓰기 전에 한 단계를 쓸 만합니다. 변의 길이만으로도 삼각형의 각들에 순위가 매겨지고, 그 순위만으로 도형이 허락하지 않는 "예쁜 각"을 가정한 두 선택지가 즉시 지워집니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 문제를 닫습니다. 알려진 세 변과 미지의 코사인을 코사인법칙을 통해 일차방정식 하나로 바꿉니다.

1STEP 1

각은 한 평면 안에 있다

세 점이 한 평면에 있습니다.

C, M, D 는 한 평면을 정함 ⟹ ∠ CMD 는 평면 삼각형 CMD 의 평범한 한 각

2STEP 2

모서리 길이를 1로 놓기

모서리 길이를 1로 놓습니다.

AB = AC = AD = BC = BD = CD = 1 ⟹ CD = 1, AM = MB = 1/2

3STEP 3

두 면이 같은 중선을 준다

두 면이 같은 중선을 줍니다.

CA = CB, AM = BM, CM = CM ⟹ △ CAM ≅ △ CBM ⟹ CM ⊥ AB; △ ABD ≅ △ ABC ⟹ DM = CM

4STEP 4

면의 반쪽에 피타고라스

면의 반쪽에 피타고라스를 씁니다.

CM² = AC² - AM² = 1 - 1/4 = 3/4 ⟹ CM = DM = √(3)/2, CD = 1

5STEP 5

선택지 두 개가 바로 죽는다

선택지 두 개가 바로 죽습니다.

CD ＞ CM = DM ⟹ ∠ CMD ＞ 60^° ⟹ cos(∠ CMD) ＜ 1/2; CM² + DM² = 3/2 ＞ 1 = CD² ⟹ ∠ CMD ＜ 90^°

6STEP 6

코사인법칙이 문제를 닫는다

코사인법칙이 3분의 1을 줍니다.

1 = 3/4 + 3/4 - 3/2cos(∠ CMD) ⟹ 3/2cos(∠ CMD) = 1/2 ⟹ cos(∠ CMD) = 1/3 (B)

정답

1/3

좌표를 쓰면 코사인법칙을 다시 쓰지 않고도 값을 독립적으로 확인할 수 있습니다. A = (0,0,0), B = (1,0,0), C = (1/2, √(3)/2, 0), D = (1/2, √(3)/6, √(6)/3)로 놓습니다. D와 A의 거리를 확인하면 1/4 + 1/12 + 2/3 = 3/12 + 1/12 + 8/12 = 1이고, 대칭에 의해 DB와 DC도 마찬가지이므로 여섯 모서리가 정말 모두 1입니다. 그러면 M = (1/2, 0, 0)이므로 MC = (0, √(3)/2, 0), MD = (0, √(3)/6, √(6)/3)입니다. 1/12 + 2/3 = 3/4이므로 두 벡터의 길이는 모두 √(3)/2이고 4단계가 확인됩니다. 내적은 √(3)/2 · √(3)/6 = 3/12 = 1/4입니다. 길이의 곱으로 나누면 cos(∠ CMD) = 1/4/3/4 = 1/3이 되어 (B)가 확인됩니다. 이 수는 그 자체로도 낯익습니다. ∠ CMD ≈ 70.53^°는 정사면체의 중심에서 두 꼭짓점이 이루는 사면체각 109.47^°의 보각이고, 그 각의 코사인은 -1/3입니다. 부호만 뒤집힌 같은 1/3입니다. 마지막으로 함정에 값을 매겨 둡니다. 선택지 (D) 1/2은 삼각형 CMD를 정삼각형으로 취급했을 때 나오는 값인데, 그러려면 MC가 √(3)/2이 아니라 1이어야 합니다. 4단계에서 √(3)/2이 나오는 순간 그 해석은 죽습니다. 선택지 (E) √(3)/2은 길이 MC 자체를 변의 길이 자리에서 코사인 자리로 옮겨 적은 값입니다. 선택지 (C) 2/5 = 0.4는 1/3 ≈ 0.333과 충분히 가까워서 정확한 계산으로만 갈립니다. 6단계를 어림셈으로 대신할 수 없는 이유가 이것입니다.

💡핵심 정리

점 세 개는 언제나 평평하게 놓이므로, 입체를 각이 들어 있는 삼각형 하나로 줄이고 세 변의 길이를 구하면 나머지는 코사인법칙이 해 줍니다.

각은 한 평면 안에 있다
모서리 길이를 1로 놓기
두 면이 같은 중선을 준다
면의 반쪽에 피타고라스
선택지 두 개가 바로 죽는다
코사인법칙이 문제를 닫는다