AMC 10 · 2022 · #17

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

double-angle-formulatrigonometric-ratioszero-product-propertydomain-restrictionquadratic-equations convert-to-algebraidentify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: double-angle-formulaquadratic-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 실수에 대해 사인이 섞인 방정식이 0과 파이 사이의 열린 구간에서 해를 하나 가질 수도, 여러 개 가질 수도, 없을 수도 있습니다. 해가 둘 이상인 실수를 모두 모으면 한 점만 빠진 구간이 됩니다. 그 세 경계값을 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}4$

(B)

${-}1$

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

x 의 서로 다른 배각이 셋이나 나오므로, 이들을 같은 기준으로 맞추기 전에는 아무것도 비교할 수 없다. 각의 덧셈 공식으로 sin 2x 와 sin 3x 를 모두 'sin x 곱하기 cos x 의 다항식' 으로 바꾸면 문제 전체가 무너져 내린다(도구 #15). 그러면 공통인수 sin x 가 떨어져 나오고, (0,π) 에서 sin x 는 절대 0이 아니므로 그대로 약분할 수 있다(도구 #7). 남는 것은 오직 cos x 에 대한 식이고, 덩어리 2cos x + 1이 양변에 나타나므로 이것을 u 라 이름 붙이면 방정식은 인수분해된 이차식 u(u-2-a)=0이 된다(도구 #4). 한 인수는 a 가 무엇이든 항상 해를 주므로, 진짜 질문은 나머지 인수가 또 하나의 정당한 x 를 만들어 낼 수 있는가로 옮겨간다(도구 #16). 그것은 열린구간에서 cos x 의 치역에 관한 순수한 문제이고, 여기에 두 해가 하나로 겹쳐 버리는 경계 경우 하나가 더해진다(도구 #14).

1STEP 1

모든 각을 하나로 맞추기

배각 공식으로 하나의 각으로 맞춥니다.

sin 2x = 2sin xcos x, sin 3x = sin x (4cos² x - 1)

2STEP 2

공통 사인 약분하기

구간 안에서 사인이 0이 아니라 약분됩니다.

asin x (2cos x + 1) = sin x (2cos x - 1)(2cos x + 1) ⟹ a(2cos x + 1) = (2cos x - 1)(2cos x + 1)

3STEP 3

반복 덩어리에 이름 붙이기

같은 덩어리가 양쪽에 나타납니다.

u = 2cos x + 1 ⟹ au = u(u-2) ⟹ u(u - (a+2)) = 0

4STEP 4

공짜 해 찾기

해 하나가 언제나 공짜로 나옵니다.

u = 0 ⟹ cos x = -1/2 ⟹ x = 2π/3; u = a+2 ⟹ cos x = (a+1)/2

5STEP 5

둘째 가지 성립시키기

코사인 범위가 구간을 정합니다.

-1 ＜ (a+1)/2 ＜ 1 ⟹ -2 ＜ a+1 ＜ 2 ⟹ -3 ＜ a ＜ 1

6STEP 6

겹치는 경우 빼고 더하기

겹치는 점을 빼고 더하면 마이너스 4입니다.

(a+1)/2 = -1/2 → a = -2; a ∈ (-3,-2)∪(-2,1); p+q+r = -3 + (-2) + 1 = -4

정답

-4

문제가 약속한 (p,q)∪(q,r) 꼴이 실제 결과와 정확히 맞는다. 안쪽 한 점만 빠진 구간이고, 빠진 점 q = -2는 정말로 -3과 1 사이에 있다. a 값 세 개로 확인해 보자. a = 0이면 방정식은 sin 3x = 0이고 (0,π) 에서 해는 x = π/3와 x = 2π/3로 둘이다. 실제로 0은 (-2,1) 안에 있다. a = 4 면 두 번째 가지는 cos x = 5/2를 요구하는데 불가능하므로 x = 2π/3 하나만 남고, 4는 집합 밖이다. a = -2 면 두 번째 가지가 cos x = -1/2를 요구해 공짜 해와 같은 점이 되므로 역시 해가 하나뿐이고, 이는 구멍과 일치한다. 마지막으로 p+q+r = -4는 보기 중에 있다.

💡핵심 정리

모든 각을 하나의 각으로 바꿔 쓰고, 절대 0이 될 수 없는 인수는 약분한 다음, 해가 있느냐가 아니라 서로 다른 해가 하나 더 있느냐를 물어라.

모든 각을 하나의 기준으로
공통인수 사인 약분하기
반복되는 덩어리에 이름 붙이기
해 하나는 공짜로 나온다
두 번째 가지를 성립시키기
겹치는 경우를 빼고 더하기