AMC 10 · 2022 · #22
학년 11 algebrageometry-2d답을 골라 클릭하세요.
방정식이 근을 숨기고 있으니 근에 이름을 붙인다. 근을 a + bi와 a - bi로 쓰면 네 꼭짓점이 모두 평범한 좌표 한 쌍으로 바뀌고, 비에트 정리는 계수를 a와 b에 대한 깔끔한 두 식으로 바꿔 준다. 그림이 좌표가 되는 순간 넓이는 a² + b² = 10이라는 고정된 예산 아래의 곱 ab 하나로 줄어들고, 그다음은 표준적인 최댓값 문제다.
근이 실수가 아님을 확인
판별식이 음수여야 합니다.
근이 실수면 그림 전체가 한 직선으로 납작해지고, 납작한 사각형은 넓이가 없다.
11.N-CN.C.7Eliminate Possibilities근에 이름 붙이기
두 근이 켤레입니다.
두 복소수가 실수축에 대한 거울상임을 알면 미지수가 실수 두 개로 줄어든다.
11.N-CN.A.2Introduce A Variable역수 계산하기
역수는 원점 쪽으로 줄어듭니다.
두 근의 곱이 10이므로 역수를 취하는 일은 1/10배로 줄이고 실수축에 대해 뒤집는 것과 같다.
11.N-CN.A.3Identify Subproblems도형 알아보기
네 점이 등변사다리꼴을 이룹니다.
켤레쌍은 언제나 위아래 거울 짝으로 나오므로 도형은 가로축 대칭일 수밖에 없다.
10.G-GPE.B.4Draw A Diagram넓이 식 세우기
넓이가 두 값의 곱에 비례합니다.
그림 속 모든 길이가 a 또는 b의 고정된 배수이므로, 넓이도 그 곱의 고정된 배수가 된다.
10.G-GPE.B.7Identify Subproblems최대로 만들기
두 값이 같을 때 곱이 최대입니다.
두 수의 제곱의 합이 고정되어 있으면 곱은 둘이 같을 때 가장 커진다. 한쪽으로 치우친 경우는 언제나 손해다.
두 제곱의 합이 정해져 있으면, 그 곱은 두 조각이 같을 때 가장 크다.
▸ 왜?
합이 정해져 있으면 부분이 서로 같을 때 곱이 가장 크며, 벌려 놓으면 손해만 난다.
▸ 왜?
한쪽으로 기운 배치는 고르게 만든 것에 언제나 지므로, 균형 잡힌 것만이 이길 수 있다.
값 읽기
가장 가까운 보기는 4.5입니다.
실수부와 허수부가 같으면 각 근이 45° 방향에 놓이고, 그 실수부를 두 배 한 것이 곧 c다.
11.N-RN.A.2Introduce A Variable켤레근 덕분에 네 점이 거울 짝이 되어 도형은 사다리꼴로 정해지고, 넓이는 ab의 상수배가 된다. a² + b²이 고정되어 있으면 그 곱은 a = b일 때 가장 크다.
- 근은 실수일 수 없다
- 근을 a ± bi로 놓기
- 역수는 원점 쪽으로 줄어든다
- 그려 보면 등변사다리꼴
- 넓이는 ab의 상수배
- a² + b² = 10 아래에서 ab 최대화
- c 읽어내기