AMC 10 · 2022 · #8

학년 8 algebra

유형 Geometric Series Share └ 세부 유형 Nested-Similar-Figure Area Sum

exponentsgeometric-series-infinitequadratic-equationszero-product-property convert-to-algebrapattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

끝없는 곱이 10의 세제곱근에서 시작하고 그다음 인수는 모두 바로 앞 인수의 세제곱근입니다. 이 곱이 어떤 실수로 수렴한다는 것이 알려져 있습니다. 그 값을 정확히 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt{10}$

(B)

$\sqrt[3]{100}$

(C)

$\sqrt[4]{1000}$

(D)

(E)

$10\sqrt[3]{10}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

곱이 끝나지 않으므로 직접 계산할 대상이 없음. 도구 #4(변수 도입하기)가 입구 — 최종 값에 P 라는 이름을 붙이고, P 가 만족해야 하는 식을 찾는다. 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 구조를 제공 — 각 인수는 앞 인수의 세제곱근, 즉 목록 자체가 자기 닮음. 도구 #16(관점 바꾸기)이 마무리 — P 를 노려보는 대신 P³을 보면, 세제곱이 모든 인수에서 세제곱근을 하나씩 벗겨내면서 원래 곱이 통째로 다시 나타난다. 무한 곱셈이 한 줄짜리 방정식으로 바뀜.

1STEP 1

곱의 층에 이름 붙이기

각 인수에 이름을 붙입니다.

t₁ = ∛(10), t_k+1 = ∛(t_k), 곱 = t₁ t₂ t₃ …

2STEP 2

최종 값에 이름 붙이기

곱 전체에도 이름을 붙입니다.

P = t₁ t₂ t₃ …, P ＞ 1

3STEP 3

곱 전체 세제곱하기

세제곱하면 한 층씩 올라갑니다.

P³ = t₁³ · t₂³ · t₃³ … = 10 · t₁ · t₂ …

4STEP 4

숨은 자기 자신 찾기

안에 자기 자신이 숨어 있습니다.

P³ = 10 · (t₁ t₂ t₃ …) = 10P

5STEP 5

하나 나눠 없애기

하나를 나누면 제곱만 남습니다.

P³/P = 10P/P ⟹ P² = 10

6STEP 6

양의 제곱근 택하기

양의 제곱근은 루트10입니다.

P² = 10, P ＞ 0 ⟹ P = √(10) ⟹ (A)

정답

√(10)

앞쪽 인수 몇 개만 곱해 어디로 가는지 보자. t₁ = 10¹/3 ≈ 2.154; 두 개까지 10⁴/9 ≈ 2.783; 세 개까지 10¹3/27 ≈ 3.029; 네 개까지 10⁴0/81 ≈ 3.117. √(10) ≈ 3.162로 꾸준히 올라감 — 답과 일치. 나머지 보기는 모두 너무 큼: ∛(100) ≈ 4.64, ∜(1000) ≈ 5.62, 10, 10∛(10) ≈ 21.5. 두 번째 보기조차 될 수 없는 이유도 깔끔함 — 누적 지수 1/3, 4/9, 13/27, 40/81, … 는 계속 1/2 아래에 머무는데, ∛(100)이 되려면 지수가 2/3 이어야 함.

💡핵심 정리

곱이 끝나지 않을 때는 이름을 붙이고 세제곱해 보세요 — 자기 세제곱 속에 원래 곱이 통째로 다시 나타나서 P³ = 10P 가 되고, 끝없는 곱셈이 P = √(10) 하나로 무너집니다.

곱의 층에 이름 붙이기
최종 값에 이름 붙이기
곱 전체를 세제곱하기
안에 숨은 P 발견하기
P 하나 나눠 없애기
양의 제곱근 택하기