AMC 10 · 2022 · #10

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

coordinate-geometryequilateral-trianglemidpoint-formulapythagorean-theoremrotation-isometry symmetry-argumentspatial-visualizationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

정육각형의 모든 변의 길이가 2입니다. 마주 보는 두 변의 중점을 표시합니다. 그 두 점과 두 꼭짓점이 네 변으로 된 도형을 이룹니다. 그 도형의 둘레를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4\sqrt3$

(B)

(C)

$4\sqrt5$

(D)

$4\sqrt7$

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제에는 숨은 문장제가 없다. 어려운 점은 오직 G와 H가 변의 한가운데에 있어서, 구해야 할 네 길이 중 어느 것도 육각형의 변이나 익숙한 대각선이 아니라는 것이다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)이 핵심인데, 빈 종이가 아니라 좌표평면 위에 그리는 것이 이득이다. 정육각형에는 중심이 있고, 그 중심을 원점에 두면 여섯 꼭짓점이 모두 짧고 정확한 좌표로 떨어진다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 그림을 좌표표로 바꿔 주고, 그러고 나면 중점은 두 수의 평균일 뿐이다. 이어서 도구 #17(공간 상상하기)이 준비한 값을 두 배로 돌려준다. 중심이 원점이면 G와 H가 서로 부호만 다른 점이고 C와 F도 그러하므로, 중심에 대한 반 바퀴 회전이 이 도형을 자기 자신으로 옮기며 네 변을 같은 길이의 두 쌍으로 묶어 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그 짝짓기를 이용해 네 번 해야 할 거리 계산을 두 번으로 줄인다. 남은 두 번은 평범한 직각삼각형 계산이다.

1STEP 1

중심에서 조각내기

중심에서 자르면 정삼각형이 나옵니다.

∠ AOB = 360°/6 = 60°, OA = OB → △ AOB 는 정삼각형 → OA = OB = AB = 2

2STEP 2

꼭짓점에 좌표 붙이기

여섯 꼭짓점에 좌표를 붙입니다.

A = (2, 0), B = (1, √3), C = (-1, √3), D = (-2, 0), E = (-1, -√3), F = (1, -√3)

3STEP 3

평균으로 중점 찍기

평균으로 두 중점을 찍습니다.

G = (3/2, √3/2), H = (-3/2, -√3/2), C = (-1, √3), F = (1, -√3)

4STEP 4

반 바퀴 대칭 찾기

반 바퀴 대칭이라 변이 짝을 이룹니다.

H = -G, F = -C, (x, y) → (-x, -y) → GC = HF, CH = FG

5STEP 5

두 변 재기

두 변을 재면 값이 같습니다.

GC² = (5/2)² + (√3/2)² = 28/4 = 7, CH² = (1/2)² + (3√3/2)² = 1/4 + 27/4 = 7

6STEP 6

네 변 더하기

둘레는 4루트7입니다.

GC = CH = HF = FG = √7 → 둘레 = 4√7 → (D)

정답

4√7

먼저 수로 확인하자. √7 ≈ 2.646이므로 둘레는 약 10.58이다. 이는 선택지 (C) 4√5 ≈ 8.94와 (E) 12 사이에 놓이는데, 그림을 보면 GCHF의 각 변이 길이 2인 육각형의 한 변보다는 확실히 길고 가장 긴 대각선 AD = 4보다는 짧으므로 한 변이 2와 4 사이여야 하고 2.646은 잘 들어맞는다. 선택지 (A) 4√3 ≈ 6.93이라면 한 변이 약 1.73이 되어 육각형의 한 변보다도 짧아지므로 그림과 맞지 않는다. 대각선을 이용하면 완전히 독립적인 확인이 된다. GCHF의 대각선은 CF와 GH인데, C = (-1, √3)에서 F = (1, -√3)까지는 √(4 + 12) = 4, G에서 H까지는 √(9 + 3) = 2√3이다. 두 대각선은 모두 원점을 지나고 방향벡터 (2, -2√3)와 (-3, -√3)의 내적이 -6 + 6 = 0이므로 서로 수직으로 만나며 서로를 이등분한다. 이는 정확히 마름모의 조건이다. 그러면 각 변은 두 대각선의 절반인 2와 √3을 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변이므로 √(4 + 3) = √7이 다시 나오고 둘레는 4√7이다. 실제 좌표를 그대로 넣어 거리를 계산하면 네 변이 모두 2.6457513…이고 4 × 2.6457513 = 10.5830052 = 4√7이다.

💡핵심 정리

육각형의 중심을 원점에 두면 H는 G를, F는 C를 중심 너머로 뒤집은 점이다. 그래서 GCHF는 마름모이고, 거리 하나 √7만 구하면 둘레 4√7이 바로 나온다.

중심에서 여섯 조각으로 자르기
꼭짓점마다 좌표 붙이기
평균으로 G와 H 찍기
반 바퀴 대칭 알아채기
GC와 CH 재기
같은 네 변 더하기