경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2016 · #21

학년 7 probabilitycounting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basiccombinations-basiccomplementary-counting complementary-countingsystematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

모자 안에 빨간 칩 3 개와 초록 칩 2 개가 들어 있습니다. 한 번에 하나씩 꺼내고 다시 넣지 않으며, 빨간 칩 3 개를 모두 뽑은 순간 또는 초록 칩 2 개를 모두 뽑은 순간 — 둘 중 먼저 일어나는 쪽에서 멈춥니다. 빨간 칩 3 개를 모두 뽑아서 멈출 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{3}{10}$

(B)

$\dfrac{2}{5}$

(C)

$\dfrac{1}{2}$

(D)

$\dfrac{3}{5}$

(E)

$\dfrac{7}{10}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

멈추는 시점을 그대로 따라가면 게임이 3, 4, 5 번째 뽑기에서 끝날 수 있어 경우가 복잡해집니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 깔끔하게 바꿉시다 — 멈춤 규칙을 무시하고 5 개를 끝까지 뽑는다고 상상해 봅니다. 그러면 "빨강이 먼저 다 나옴" 은 곧 "5 번째(마지막) 칩이 초록" 과 같습니다. 멈춤을 일으키지 않은 색이 결국 마지막에 남기 때문입니다. 멈춤 문제를 "마지막 자리의 색깔" 이라는 한 줄짜리 질문으로 줄여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) — 빨강 3, 초록 2의 모든 배열 C(5, 2) = 10 가지를 적어 세어 보는 것 — 으로 개수를 손에 잡히게 만들고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 빠지는 경우 없이 순서대로 적습니다.

1STEP 1

마지막 칩 문제로 바꾸기

멈춤 규칙을 잊고 5 개를 끝까지 뽑는다고 상상하면, 빨강이 먼저 다 나옴은 곧 마지막 칩이 초록임과 같습니다.

P(빨강이 먼저 다 나옴) = P(마지막 칩이 초록)

2STEP 2

모든 순서 나열하기

빨강 3, 초록 2의 모든 배열을 초록 자리 기준으로 나열하면 C(5, 2) = 10 가지가 있습니다.

G 의 자리: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5) → 10 가지

3STEP 3

조건에 맞는 순서 세기

이기는 경우는 마지막 자리가 초록인 배열 — 자리쌍에 5가 든 것으로, 이기는 배열 4 가지입니다.

유리한 배열 수 = 4

4STEP 4

확률 구하기

10 가지가 모두 동등하므로 확률은 유리한 수 ÷ 전체 = $\frac{4}{10}$ = $\frac{2}{5}$ , 즉 (B)입니다.

P(마지막 칩이 초록) = 4/10 = 2/5 → (B)

정답

2/5

한 줄 지름길로 검산해 봅시다: 5 개의 칩 각각이 5 개 자리 어디에든 동등하게 들어갈 수 있으므로, 5 번째 자리에 놓인 칩이 초록일 확률은 (초록 개수) / (총 개수) =

\frac{2}{5}

. 답과 일치합니다. 또한 답이

\frac{1}{2}

보다 작은 것도 자연스럽습니다 — 초록은 2 개만 다 나오면 끝이고 빨강은 3 개가 다 나와야 끝이므로, 빨강이 먼저 끝날 가능성이 살짝 더 낮을 수밖에 없습니다.

\frac{2}{5}

= 0.4가 딱 그 느낌입니다.

💡핵심 정리

어려워 보이는 확률 문제도 관점만 바꾸면 "마지막 칩이 초록일까?" 처럼 한 줄 질문으로 줄어듭니다.

마지막 칩 문제로 바꾸기
모든 순서 나열하기
조건에 맞는 순서 세기
확률 구하기

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마지막 칩 문제로 바꾸기

모든 순서 나열하기

조건에 맞는 순서 세기

확률 구하기

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