AMC 10 · 2022 · #14
학년 11 geometry-2dalgebra답을 골라 클릭하세요.
비스듬한 두 선분이 이루는 각을 식에서 곧바로 읽어내는 공식은 없습니다. 그래서 각각 공식이 있는 조각들로 쪼개야 합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 풀이 전체를 이끌고, 그것도 두 번 나섭니다. 먼저 각을 논하기 전에 곡선을 구체적인 세 점으로 바꿔야 한다고 말해 줍니다. 절편을 구하라는 뜻입니다. 그다음 이 문제의 핵심 수를 둡니다. B에서의 각은 다루기 어렵지만, y축이 이미 B를 지나며 그 각을 두 조각으로 잘라 줍니다. 각 조각은 두 변이 축을 따라 놓인 직각삼각형 안에 들어앉습니다. 어려운 각 하나 대신 쉬운 각 둘입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이 자르기를 눈에 보이게 하고, 못지않게 중요하게도 이 각이 넓지 않고 날카롭다는 사실을 미리 알려 줍니다. 이 사실이 나중에 부호를 결정합니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 중간에서 조용한 변환을 맡습니다. 좌표 -5, 3, -15가 위치이기를 멈추고 길이 5, 3, 15가 되어야 삼각비를 쓸 수 있습니다. 도구 #4(변수 도입하기)가 마무리합니다. 쪼갠 두 각은 어느 쪽도 몇 도라고 이름 붙일 수 없으니, α와 β라는 글자를 주고 탄젠트만 챙긴 뒤, 탄젠트 덧셈 공식으로 다시 붙이면 됩니다.
곡선을 세 점으로
인수분해가 세 점을 줍니다.
포물선이 x축과 만나는 자리를 찾는 가장 빠른 길은 인수분해입니다. 곱이 0이 되는 때는 어느 한 인수가 0일 때뿐이기 때문입니다.
9.A-SSE.B.3Identify Subproblems점을 찍고 각 가늠하기
두 점이 축의 양쪽에 있습니다.
대략이라도 비율을 맞춘 그림은 각이 날카로운지 넓은지를 미리 알려 주고, 이는 이후에 쓰는 모든 공식에 대한 공짜 검산이 됩니다.
6.NS.C.8Draw A Diagram축으로 각 자르기
축이 각을 두 직각삼각형으로 나눕니다.
다루기 힘든 각도 꼭짓점을 지나는 알맞은 선 하나만 있으면 친숙한 두 각으로 바뀝니다. 여기서는 y축이 이미 그 자리에 있었습니다.
7.G.B.5Identify Subproblems두 탄젠트 읽기
각 삼각형에서 탄젠트를 읽습니다.
좌표는 모습을 바꾼 길이입니다. 좌표는 곧 그 점이 두 축과 함께 만드는 직각삼각형의 두 변입니다.
10.G-SRT.C.6Organize Information In More Ways덧셈 공식으로 붙이기
덧셈 공식으로 붙이면 7분의 4입니다.
덧셈 공식은 각각의 이름을 끝내 알 수 없는 두 각이라도, 탄젠트만 알면 합쳐 낼 수 있게 해 줍니다.
덧셈 공식은 따로는 이름 붙일 수 없는 두 각을, 각각의 탄젠트만 알면 합쳐 준다.
▸ 왜?
두 각으로 지어진 각은 조각을 더해 재므로, 그렇게 합쳐도 된다.
▸ 왜?
각 탄젠트는 마주 보는 변을 이웃한 변으로 나눈 것이며, 좌표가 두 변을 곧바로 내준다.
좌표평면에서 각이 다루기 까다로우면, 그 꼭짓점을 지나는 가까운 축을 밀어 넣어 직각삼각형 두 개의 각으로 자르고, 각각의 탄젠트를 읽은 뒤 탄젠트 덧셈 공식으로 다시 붙이면 됩니다.
- 곡선을 세 점으로 바꾸기
- 점을 찍고 각의 크기를 가늠하기
- y축으로 각을 둘로 자르기
- 두 변에서 탄젠트를 읽어내기
- 탄젠트 덧셈 공식으로 다시 붙이기