AMC 10 · 2022 · #19

학년 11 geometry-2d

median-of-trianglecentroid-2-to-1law-of-cosinesequilateral-trianglesupplementary-angles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: law-of-cosinescentroid-2-to-1

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형에서 두 중선을 긋습니다. 두 중선이 한 점에서 만나고, 한 꼭짓점과 그 교점과 한 중점이 정삼각형을 이룹니다. 이 조건 하나가 삼각형의 모양을 결정하므로 어떤 각의 코사인이 정해집니다. 그 값을 요구된 꼴로 쓰고 세 정수를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

문제는 숫자를 하나도 주지 않고 모양 조건만 준다. 그러니 없는 숫자를 직접 만들어 넣는 것이 첫 수다. 정삼각형의 한 변을 s라 하자. 이 이름 하나면 충분하다. 나머지 길이가 전부 여기에 사슬처럼 묶여 있기 때문이다. E가 중점이므로 AC = 2s가 곧바로 나오고, 무게중심의 2:1 규칙이 AG와 GE를 각 중선 전체와 나머지 조각으로 바꿔 준다. 마지막에는 s가 약분되어 사라진다. cos C가 비율이기 때문이고, 이는 숫자가 주어지지 않았다는 사실이 미리 예고한 결과다. 두 번째 아이디어는 △ ABC에서 눈을 떼고 G를 공유하는 작은 삼각형들을 보는 것이다. 정삼각형 조건이 G에 60°를 심어 주고, 두 중선이 G를 곧게 지나가므로 나머지 각들은 보각과 맞꼭지각에 의해 120°와 60°로 강제된다. 그러면 각 작은 삼각형은 두 변과 그 사이 각을 아는 상태가 되고, 이것이 바로 코사인법칙을 쓰는 자리다. 두 번 적용하면 AB와 BC가 나오고, 세 번째로 이번에는 큰 삼각형의 꼭짓점 C에서 적용하면 cos C가 나온다.

1STEP 1

정삼각형 변에 이름 붙이기

한 변에 이름을 붙입니다.

AG = GE = EA = s ⟹ AC = 2s, EC = s

2STEP 2

2 대 1 규칙으로 펼치기

중선이 2 대 1로 나뉩니다.

BG = 2 GE = 2s, BE = 3s; AG = 2/3AD = s ⟹ AD = 3/2s, GD = 1/3AD = 1/2s

3STEP 3

교점 둘레의 각 읽기

맞꼭지각으로 각이 정해집니다.

∠ AGE = 60° ⟹ ∠ AGB = 180° - 60° = 120°, ∠ DGB = ∠ AGE = 60° (맞꼭지각)

4STEP 4

첫 변 구하기

코사인법칙이 첫 변을 줍니다.

AB² = s² + (2s)² - 2 · s · 2s·cos 120° = s² + 4s² + 2s² = 7s² ⟹ AB = s√(7)

5STEP 5

둘째 변 구하기

코사인법칙이 둘째 변도 줍니다.

BD² = (2s)² + (1/2s)² - 2 · 2s·1/2s·1/2 = 4s² + 1/4s² - s² = 13/4s² ⟹ BD = √(13)/2s, BC = 2 BD = s√(13)

6STEP 6

세 변으로 코사인 구하기

세 변을 모아 코사인을 구합니다.

cos C = (a²+b²-c²)/2ab = (13s² + 4s² - 7s²)/(2 · s√(13) · 2s) = 10s²/4s²√(13) = 5/2√(13)

7STEP 7

유리화하고 더하기

유리화해 더하면 44입니다.

cos C = 5/2√(13)·√(13)/√(13) = 5√(13)/26 ⟹ m=5, n=26, p=13 ⟹ m+n+p = 44

정답

좌표로 삼각형을 처음부터 다시 세워서, 준 조건이 정말로 되살아나는지 확인한다. s=1로 두고 G를 원점, E를 (1,0)에 놓는다. B, G, E가 한 직선 위에 있고 BG = 2이므로 B는 반대쪽 반직선 위의 (-2,0)이다. 정삼각형 조건에 의해 A는 G에서 각 60° 방향으로 거리 1인 점, 즉 A = (1/2, √(3)/2)이다. E가 AC의 중점이므로 C = 2E - A = (3/2, -√(3)/2)이다. 이 구성이 가정이 아니라 사실임을 두 가지로 확인한다. 첫째, BC의 중점은 (-1/4, -√(3)/4)인데 이 점은 직선 AG 위에 있고 G에서 거리가 1/2로, GD = 1/2s와 정확히 일치한다. 둘째, A, B, C의 평균이 (0,0) = G이므로 G는 실제로 무게중심이다. 길이를 재면 AC = 2, AB = √(7)≈ 2.6458, BC = √(13)≈ 3.6056으로 유도 결과와 모두 맞는다. 내적을 쓰면 CA·CB = (-1)(-7/2) + (√(3))(√(3)/2) = 5이므로 cos C = 5/2√(13) ≈ 0.69338이고, 5√(13)/26 ≈ 0.69338로 같다. 세 각은 A ≈ 100.89°, B ≈ 33.00°, C ≈ 46.10°로 합이 180°이며 cos C는 [-1,1] 안에 안전하게 들어온다. 크기 순서도 자연스럽다. C는 중간 길이의 변 √(7)과 마주 보고 실제로 중간 크기의 각이다. 3단계의 각 배정이 운이 아니라 필연이었다는 것도 확인할 수 있다. G에서의 두 각을 바꿔서 △ BGD에 120°, △ ABG에 60°를 주면 AB² = 3s², BC² = 21s²이 되어 cos C = (21+4-3)/(2 · 2√(21)) = 11/2√(21) ≈ 1.20이 나온다. 코사인 값으로는 불가능한 수다. 잘못된 배정은 스스로 무너진다.

💡핵심 정리

모양만 주고 숫자를 주지 않은 도형 문제라면 길이 하나에 내가 이름을 붙이고, 중점은 두 배, 무게중심은 2:1, 직선은 180°라는 정해진 규칙이 그 이름을 나머지 모든 길이로 실어 나르게 하면 된다.

정삼각형의 한 변에 이름 붙이기
2 대 1 규칙으로 두 중선을 펼치기
G 둘레의 각 읽어내기
삼각형 ABG에 코사인법칙을 써서 AB 구하기
삼각형 BGD에 코사인법칙을 써서 BC 구하기
세 변을 모은 뒤 C에서 코사인법칙 쓰기
유리화한 뒤 m, n, p 읽기