AMC 10 · 2022 · #24

학년 12 geometry-2dalgebra

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

roots-of-unitycomplex-numberscomplex-polar-formvieta-formulasdouble-angle-formulasymmetry-argument symmetry-argumentidentify-subproblemsconvert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: roots-of-unitycomplex-numbers

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

반지름이 1인 원 둘레에 일곱 점이 고르게 놓여 정칠각형을 이룹니다. 모든 점을 서로 이으면 스물한 개의 선분이 생깁니다. 각 길이를 네제곱해 스물한 개를 모두 더한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

147

(D)

168

(E)

196

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

21개의 선분을 하나씩 재는 것은 가망이 없다. 등장하는 일곱 개의 각 중 어느 것도 깔끔한 값을 갖지 않기 때문이다. 이 문제의 풀이는 처음부터 끝까지 다시 묶기의 연속이다. 첫 번째 다시 묶기는 21개의 선분이 21가지 길이가 아니라는 것이다. 현의 길이는 두 끝점이 원 둘레를 따라 몇 칸 떨어져 있는지에만 달려 있고, 가능한 간격은 1칸, 2칸, 3칸 세 가지뿐이며 각 종류마다 정확히 7개씩 있다. 두 번째 다시 묶기는 꼭짓점을 좌표쌍 대신 복소수로 저장하는 것이다. 그러면 현의 제곱 길이가 켤레를 곱하는 한 줄 계산으로 2 - 2cos(2π k)/7로 접힌다. 그리고 문제를 실제로 끝내는 세 번째 다시 묶기는, 간격 k = 1, 2, 3에 대한 합을 k = 1, …, 6 즉 0이 아닌 모든 간격에 대한 합의 절반으로 바꾸는 것이다. 코사인 값 하나하나는 지저분하지만, 0이 아닌 나머지 전체에 대해 더하면 단위원의 거듭제곱근 성질 때문에 그 합은 -1로 고정된다. 코사인의 제곱합도 배각 공식으로 바꾼 뒤 같은 완비성 논리로 처리된다. 여기서 실제로 계산하는 것은 없다. 전부 접어서 없애는 것이다.

1STEP 1

길이는 세 가지

서로 다른 길이가 세 가지뿐입니다.

C(7, 2) = 21 = 3 × 7, S = 7(L₁⁴ + L₂⁴ + L₃⁴)

2STEP 2

꼭짓점을 단위근에 놓기

꼭짓점을 단위근에 놓습니다.

ω = cos2π/7 + isin2π/7, ω⁷ = 1, vertices = {1, ω, ω², …, ω⁶}

3STEP 3

켤레로 현 제곱하기

켤레를 곱하면 코사인이 나옵니다.

L_k² = |1 - ω^k|² = (1 - ω^k)(1 - ω^-k) = 2 - (ω^k + ω^-k) = 2 - 2cos(2π k)/7

4STEP 4

세 간격을 여섯으로

대칭으로 여섯 간격 전체를 씁니다.

S = 7Σ_k=1³(2 - 2cos(2π k)/7)² = 7/2Σ_k=1⁶(2 - 2cos(2π k)/7)²

5STEP 5

전개하고 이름 붙이기

전개해 두 합에 이름을 붙입니다.

Σ_k=1⁶(2 - 2c_k)² = 24 - 8A + 4B, A = Σ_k=1⁶ c_k, B = Σ_k=1⁶ c_k²

6STEP 6

코사인의 합 구하기

단위근의 합이 그 값을 줍니다.

z⁷ - 1 = (z-1)(z⁶ + z⁵ + … + z + 1) → Σ_k=1⁶ω^k = -1 → A = Σ_k=1⁶ c_k = -1

7STEP 7

코사인 제곱의 합 구하기

배각 공식이 그 합을 줍니다.

B = 1/2(6 + Σ_k=1⁶cos(4π k)/7) = 1/2(6 + A) = 1/2(6 - 1) = 5/2

8STEP 8

조각들 합치기

합치면 147입니다.

S = 7/2(24 - 8(-1) + 4 · 5/2) = 7/2 · 42 = 147

정답

147

수치로 직접 확인하면 합이 맞는다. 세 현의 길이는 L_k = 2sin(π k)/7이므로 L₁ ≈ 0.8678, L₂ ≈ 1.5637, L₃ ≈ 1.9499다. 각각의 4제곱은 약 0.5670, 5.9782, 14.4547이고, 여기에 7을 곱해 더하면 3.969 + 41.848 + 101.183 = 147.000이다. 어림으로 크기를 재 봐도 자리가 맞는다. 단위원의 현은 대체로 3/2 안팎이므로 21 · (3/2)⁴ ≈ 106인데, 이는 147과 같은 자릿수이고 모든 선분이 지름일 때의 최댓값 21 · 2⁴ = 336보다 충분히 작다. 이것만으로 선택지를 걸러 낼 수는 없지만 답이 타당한 범위에 있음은 확인된다. 가장 강한 신호는 선택지의 구조다. 다섯 개가 모두 7의 배수이고 147 = 3 · 7²이다. 같은 계산을 단위원에 내접한 다른 정n각형에 대해 반복하면 삼각형은 27, 사각형은 48, 오각형은 75, 육각형은 108이 나오는데 이는 각각 3 · 3², 3 · 4², 3 · 5², 3 · 6²이다. 일반적인 답이 3n²인 것이고, 정사각형의 경우는 손으로 전부 확인할 수 있다. 길이 √(2)인 변 네 개와 길이 2인 대각선 두 개로 4 · 4 + 2 · 16 = 48이다. 3 · 7² = 147은 이 패턴에 정확히 들어맞는다.

💡핵심 정리

각 하나가 너무 지저분해서 계산이 안 될 때는 같은 집안의 나머지 각들을 다 불러 모아 한 벌을 채워라. 고르게 퍼진 방향들의 완전한 한 벌은 언제나 간단한 값으로 상쇄된다.

길이는 세 가지, 각각 일곱 개
꼭짓점을 7차 단위근에 놓기
켤레를 곱해 현을 제곱하기
세 간격을 여섯 간격으로 바꾸기
전개하고 두 합에 이름 붙이기
코사인들의 합은 -1
코사인 제곱들의 합은 5/2
조각들을 합쳐 마무리