AMC 10 · 2022 · #8

학년 11 algebrageometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

difference-of-squaresperfect-squarespolynomial-factoringzero-product-propertycircle-equationhyperbola-standard-form identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: difference-of-squarescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 변수의 방정식 하나가 주어집니다. 그래프는 이 방정식을 참으로 만드는 모든 점의 집합입니다. 문제는 수를 묻는 것이 아니라 그 점들의 집합이 어떤 모양인지 묻습니다. 각 보기가 익숙한 곡선 두 개의 이름을 댑니다. 어떤 곡선들인지 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

two intersecting parabolas

(B)

two nonintersecting parabolas

(C)

two intersecting circles

(D)

a circle and a hyperbola

(E)

a circle and two parabolas

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

y⁴+1=x⁴+2y²는 쓰여 있는 그대로는 아무것과도 맞지 않습니다. 4차는 어떤 표준 곡선 방정식에도 들어 있지 않고, 세 항은 양변에 흩어져 있습니다. 그래서 첫 수는 통째로 도구 #15(다르게 정리하기)의 몫입니다. 같은 것끼리 모이도록 항을 옮기면 y⁴-2y²+1 덩어리가 완전제곱이고 x⁴도 제곱임이 드러납니다. 문제에 무언가를 더한 것이 아니라, 같은 방정식을 구조가 보이는 형태로 다시 썼을 뿐입니다. 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이어받습니다. "제곱 = 제곱" 꼴의 문장은 사실 서로 다른 두 문장이므로, 어려운 질문 하나가 각각 따로 판정하면 되는 평범한 2차 방정식 두 개로 갈라집니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)은 찍기가 아니라 진짜 판정을 해 줍니다. 선택지들이 포물선이 있는지 없는지로 갈리는데, 원점에서 멀어질 때 곡선이 자라는 속도만 보면 포물선인지 아닌지가 그 자리에서 결판나기 때문입니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 예비로 남겨 두는 지름길입니다. u=x², v=y²로 두면 4차 방정식이 2차 방정식이 되어 완전제곱을 놓칠 수 없게 됩니다.

1STEP 1

한쪽 항 모으기

한 변수의 항을 모읍니다.

y⁴+1=x⁴+2y² ⟹ y⁴-2y²+1=x⁴

2STEP 2

양변이 완전제곱

양변이 모두 완전제곱입니다.

y⁴-2y²+1=(y²)²-2(y²)+1=(y²-1)², x⁴=(x²)² ⟹ (y²-1)²=(x²)²

3STEP 3

두 갈래로 갈라지기

제곱의 차가 두 갈래를 만듭니다.

(y²-1)²-(x²)²=0 ⟹ (y²-1-x²)(y²-1+x²)=0 ⟹ y²-x²=1 또는 x²+y²=1

4STEP 4

둘째 갈래 알아보기

한 갈래는 원입니다.

x²+y²=1 = 1²: 중심 (0,0), 반지름 1인 원. (1,0) 확인: 0⁴+1=1, 1⁴+2 · 0²=1.

5STEP 5

첫째 갈래 알아보기

다른 갈래는 쌍곡선입니다.

y²-x²=1 ⟺ y²/1-x²/1=1; 꼭짓점 (0,± 1), 점근선 y=± x. 가지: y=±√(x²+1)이고 |x|→∞일 때 (√(x²+1))/|x|→ 1.

6STEP 6

두 갈래 합치기

답은 원과 쌍곡선입니다.

그래프 = {x²+y²=1} ∪ {y²-x²=1}; 공유점 (0,1), (0,-1). (0,1) 확인: 1⁴+1=2, 0⁴+2 · 1²=2. 답: (D)

정답

원 하나와 쌍곡선 하나

점을 넣어 보면 두 갈래가 모두 확인되고 그 밖의 것은 배제됩니다. 원 위의 (1,0): 왼쪽 =0⁴+1=1, 오른쪽 =1⁴+2 · 0²=1. 역시 원 위의 (3/5,4/5): 왼쪽 =(4/5)⁴+1=256/625+1=881/625, 오른쪽 =(3/5)⁴+2(4/5)²=81/625+32/25=81/625+800/625=881/625로 같습니다. 쌍곡선 위에서는 x=2√(2), y=3을 잡으면 y²-x²=9-8=1을 만족하고, 왼쪽 =3⁴+1=82, 오른쪽 =(2√(2))⁴+2 · 3²=64+18=82로 같습니다. 두 곡선 어디에도 없는 점은 당연히 실패합니다. (1,1)은 왼쪽 =1+1=2, 오른쪽 =1+2=3입니다. 무작위로 수천 개의 점을 넣어 보아도 두 곡선 밖의 해는 하나도 나오지 않았는데, 이는 인수분해와 정확히 들어맞습니다. 곱 (y²-1-x²)(y²-1+x²)은 인수 하나가 0일 때만 0이므로 두 갈래가 그래프 전부이고 숨어 있는 세 번째 조각은 없습니다. 모양 판정도 처음에 적어 둔 대칭성과 맞아떨어집니다. 짝수 차수만 나오는데, 원과 쌍곡선 둘 다 두 축에 대해 대칭입니다. 마지막으로 포물선 선택지는 크기만으로도 무너집니다. 원 갈래는 반지름 1인 원판 안에 갇혀 있는데 유계인 포물선은 없으므로, 두 포물선만으로 이루어졌다는 주장은 불가능합니다.

💡핵심 정리

짝수 차수만 있는 방정식은 양변이 완전제곱이 될 때까지 다시 써 보세요. 그러면 "제곱 = 제곱"이 평범한 곡선 둘로 갈라지고, 그래프는 그 둘을 함께 그린 것일 뿐입니다.

y 항끼리 모으기
양변이 모두 완전제곱
제곱 = 제곱은 둘로 갈라진다
두 번째 갈래는 단위원
첫 번째 갈래는 쌍곡선
두 갈래를 합치기