AMC 10 · 2023 · #11
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
문제는 기울기를 주고 각도를 묻는다. 그러니 진짜 할 일은 두 언어 사이의 번역이다. 하나는 '가로로 간 만큼 세로로 얼마나 올라가는가'라는 대수의 언어이고, 다른 하나는 각의 언어다. 둘을 잇는 사전 항목은 하나뿐이다. 직선의 기울기는 그 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 탄젠트와 같다. 그래서 첫 수는 그 두 기울어진 각에 α, β라는 이름을 붙이는 것이다. 이름이 생기는 순간 두 직선이 이루는 각은 그저 두 각의 차가 된다. 두 각을 모두 같은 기준선인 x축에서 재기 때문이다. 각은 깔끔하게 빼지지만 기울기는 그렇지 않다. 그리고 tan(α - β)를 다시 두 기울기의 사칙연산으로 되돌려 주는 도구가 바로 탄젠트의 뺄셈 공식이다. 이 공식의 표준 형태에 붙는 절댓값 기호는 장식이 아니므로 조용히 베껴 쓰지 않고 한 단계를 따로 준다. 교점에 있는 두 종류의 각 중에서 예각을 골라내는 일을 바로 그 기호가 하기 때문이다. 그다음은 평범한 분수 계산과 특수각 하나면 끝난다. 어느 직선이 더 가파른지 놓치지 않도록 그림을 끝까지 옆에 두고, 마지막에는 보기 다섯 개로 값싸게 걸러 낸다. 0°와 90° 사이에서 탄젠트는 같은 값을 두 번 갖지 않기 때문이다.
네 각 중 예각 하나
네 각이 두 값만 갖습니다.
두 직선이 만들 수 있는 모서리는 한 종류와 그 나머지뿐이므로, '그 예각'이라는 말에는 애매함이 없다.
7.G.B.5Draw A Diagram기울기를 각으로 바꾸기
기울기가 탄젠트입니다.
기울기는 변장한 각이다. 숫자는 탄젠트로, 각은 도(°)로, 같은 사실을 다른 말로 전할 뿐이다.
10.G-SRT.C.6Introduce A Variable기울기가 아니라 각을 빼기
각을 빼야 합니다.
실제로 빼지는 것은 각이고, 뺄셈 공식은 그 차를 다시 기울기 계산으로 돌려주는 사전이다.
실제로 빼지는 것은 각이며, 뺄셈 공식이 그 차를 다시 탄젠트로 바꿔 준다.
▸ 왜?
교차각은 두 기울기 각의 차인데, 한 직선을 따라 놓인 각은 더하고 빼지기 때문이다.
▸ 왜?
기울기는 기운 각의 탄젠트, 곧 마주 보는 변을 이웃한 변으로 나눈 것이므로, 기울기와 각은 하나다.
절댓값이 예각을 고른다
절댓값이 예각을 골라 줍니다.
교점의 두 각을 갈라놓는 것은 탄젠트의 부호뿐이므로, 부호를 버리는 것은 곧 예각을 달라고 요구하는 것이다.
11.F-TF.A.2Change Focus Count The Complement분수 계산하기
분수가 1로 접힙니다.
복잡한 분수는 위쪽 일과 아래쪽 일로 쪼개면 되고, 둘 다 5/3에 도착하면 나눗셈은 시작하기도 전에 끝난다.
7.NS.A.3Identify Subproblems각 읽어내기
탄젠트가 1이라 45도입니다.
0°와 90° 사이에서 탄젠트는 같은 값을 반복하지 않으므로, 탄젠트 값 하나가 예각 하나를 못박는다.
10.G-SRT.C.8Eliminate Possibilities기울기는 변장한 각이고, 각은 빼지지만 기울기는 그렇지 않다. 그러니 기울기를 각으로 바꾸고 탄젠트 뺄셈 공식으로 그 차를 구한 뒤, 절댓값이 예각을 골라내게 하라.
- 네 개의 각, 예각은 하나
- 기울기를 각으로 바꾸기
- 기울기가 아니라 각을 뺀다
- 절댓값이 예각을 고른다
- 분수가 1로 접힌다
- 탄젠트에서 각을 읽어낸다