AMC 10 · 2023 · #16
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
"최댓값"이라는 말이 마무리를 도구 #14(극단의 원리)에게 넘깁니다. 높이를 하나의 양에 대한 함수로 써 두면, 이기는 것은 그 양을 끝까지 밀어붙인 값입니다. 거기까지 가는 길은 도구 #4(변수 도입하기)에서 시작합니다. 복소식의 절댓값은 식이 추상적인 채로는 아무 말도 해 주지 않으므로 z=x+yi로 두어 평범한 실수로 바꿉니다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 조건을 제곱해 x와 y에 대한 다항식 방정식 하나로 만듭니다. 첫눈에는 손댈 수 없어 보입니다. 여기서 구해 주는 것이 도구 #15(다르게 정리하기)입니다. 같은 덩어리 x²+x+1이 방정식의 양쪽에 숨어 있고, 그 덩어리에 이름을 붙이면 지저분한 두 변수 식이 y²에 대한 깔끔한 이차식으로 바뀝니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 서로 간섭하지 않는 두 문제로 나눕니다. "그 덩어리를 고정하면 y²은 얼마나 커질 수 있는가"와 "그 덩어리 자체는 얼마나 작아질 수 있는가"입니다. 마지막은 도구 #3(가능성 지우기)입니다. √(m)/n은 원칙적으로 여러 꼴로 쓸 수 있지만 서로소 조건이 하나만 남기고 모두 지웁니다.
실수부와 허수부로 쓰기
실수부와 허수부로 씁니다.
복소수는 실수 두 개가 이름 하나를 쓰고 있는 것이므로, z를 x와 y로 가르면 어려운 조건 하나가 평범한 대수가 됩니다.
11.N-CN.A.2Introduce A Variable크기 조건을 식으로
크기 조건이 하나의 식이 됩니다.
절댓값을 제곱하면 제곱근 하나를 깔끔한 다항식 하나와 맞바꾸는 셈이고, 양변이 이미 0 이상이었으므로 잃는 것은 없습니다.
크기를 제곱하면 제곱근 하나가 깔끔한 다항식 하나로 바뀌며, 잃는 것이 없다.
▸ 왜?
복소수의 크기는 두 좌표 위의 빗변이므로, 그것을 제곱하면 평범한 합이 된다.
▸ 왜?
음이 아닌 수 사이의 참인 등식은 양변을 제곱해도 참이고 되돌릴 수 있다.
반복 덩어리 찾기
같은 덩어리가 두 번 나타납니다.
같은 덩어리가 식의 구석구석에 나타나면 이름을 붙입니다. 그러면 두 변수 문제가 조용히 한 변수 문제가 됩니다.
9.A-SSE.A.2Organize Information In More Ways허수부의 제곱 풀기
이차방정식이 높이의 제곱을 줍니다.
A를 얼어붙게 하면 곡선이 평범한 이차식이 되고, 판별식이 일차식으로 줄어드는 것이 이 치환이 옳았다는 신호입니다.
9.A-REI.B.4Identify Subproblems덩어리를 최소로 만들기
덩어리가 가장 작을 때 높이가 최대입니다.
어떤 양이 A가 커질수록 줄어들기만 한다면 최댓값은 문제가 허용하는 가장 작은 A에 있고, 완전제곱은 그 가장 작은 A를 즉시 알려 줍니다.
9.A-SSE.B.3Extreme Principle꼴에 맞추고 더하기
두 수를 더하면 21입니다.
서로소 조건은 장식이 아니라 쌍 (m,n)을 하나로 못 박는 장치입니다. 그래서 답이 애매해지지 않습니다.
11.N-RN.A.2Eliminate Possibilitiesz에 좌표를 주고 크기 조건을 제곱하면 같은 덩어리 x²+x+1이 곳곳에 나타납니다. 그 덩어리에 이름을 붙이면 곡선이 y²에 대한 이차식이 되고, 꼭대기는 정확히 그 덩어리가 가장 작은 자리에 있습니다.
- z를 실수부와 허수부로 쓰기
- 크기 조건을 방정식으로 바꾸기
- 숨어 있는 같은 덩어리 찾기
- A로 y 제곱 풀어내기
- A를 가장 작은 값까지 밀어내리기
- 꼴에 맞추고 m + n 읽어내기