AMC 10 · 2023 · #18

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

tangent-circlespythagorean-theoremcoordinate-geometry identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: tangent-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

단위원 두 개가 중심이 2분의 1만큼 떨어져 겹칩니다. 세 번째 원은 두 원 안에 모두 들어가는 가장 큰 원입니다. 네 번째 원은 두 원에 안쪽에서 접하면서 세 번째 원에 바깥쪽에서 접합니다. 네 번째 원의 반지름을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{14}$

(B)

$\frac{1}{12}$

(C)

$\frac{1}{10}$

(D)

$\frac{3}{28}$

(E)

$\frac{1}{9}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

접선 조건은 말로만 들으면 헷갈리기 쉬워서, 도구 #1(그림 그리기)이 첫 수입니다 — C₁, C₂를 수평축 위에 대칭으로 두고 중심 A, B 와 대칭축(y축)을 표시합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 둘로 나눕니다: 먼저 C₃의 반지름을 (접선 조건 하나로) 구하고, 그다음 C₄의 반지름을 (직각삼각형 + 접선 조건으로) 구합니다. 마지막에 도구 #13(대수로 바꾸기)이 직각삼각형에서 나온 식을 r 에 대한 일차방정식으로 줄여 풀어냅니다 — 피타고라스 정리가 핵심 도구.

1STEP 1

두 중심 놓기

두 중심을 대칭으로 놓습니다.

A=(-1/4,0), B=(1/4,0), R₁=R₂=1

2STEP 2

세 번째 원의 반지름

안쪽 접함이 반지름을 줍니다.

|MB|=1/4=1-r₃ → r₃=3/4

3STEP 3

네 번째 원의 안쪽 접함

접함이 중심 거리가 됩니다.

(1/4)² + y² = (1-r)²

4STEP 4

바깥쪽 접함 쓰기

바깥쪽 접함도 거리로 씁니다.

y=3/4+r

5STEP 5

두 식 합치기

두 식을 합칩니다.

5/8+3/2r=1-2r

6STEP 6

반지름 구하기

풀면 28분의 3입니다.

r=3/8·2/7=3/28 → (D)

정답

3/28

크기 점검. C₃은 반지름 3/4로 C₁, C₂ 가운데 자리 잡고, C₄는 C₃ (반지름 3/4)과 C₁∪ C₂의 위쪽 호 사이에 끼어야 하므로 아주 작아야 합니다. C₄의 중심 높이 y=3/4+3/28=21/28+3/28=24/28=6/7. 피타고라스 점검: (1/4)²+(6/7)²=1/16+36/49, 그리고 (1-r)²=(25/28)²=625/784. 공통분모로: 1/16=49/784, 36/49=576/784, 합 =625/784. 정확히 일치 — r=3/28 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 피타고라스 정리와 두 가지 접선 규칙(내접=차, 외접=합)만 알면 풀려요 — 직각삼각형 하나 그리면 r² 항이 깨끗이 사라지고, 한 단계 일차방정식에서 r=3/28이 떨어집니다.