AMC 10 · 2023 · #6

학년 11 algebrageometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

logarithm-propertiescoordinate-geometrysymmetric-polynomialsquadratic-equations convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 점이 밑이 2인 로그 곡선 위에 있습니다. 두 점을 잇는 선분의 중점이 주어져 있습니다. 두 점의 x좌표 차의 절댓값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2\sqrt{11}$

(B)

$4\sqrt{3}$

(C)

(D)

$4\sqrt{5}$

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 점이라고 하면 미지수가 넷처럼 보이지만 그렇지 않다. 도구 #4(변수 도입하기)가 곧바로 절반으로 줄인다. y = log₂ x 위의 점은 x좌표 하나로 결정되므로 x_A와 x_B만 이름 붙이면 모든 것이 정해진다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 "중점이 (6,2)"라는 기하적 사실 하나를 평범한 식 두 개로 바꾼다. 하나는 x좌표의 평균에서, 다른 하나는 y좌표의 평균에서 나온다. 그중 두 번째는 로그의 합이고, 로그의 곱셈 법칙이 그것을 x_A x_B에 대한 정보로 바꿔 준다. 이제 합과 곱을 알게 되는데, 여기서 도구 #15(다르게 정리하기)가 힘을 발휘한다. x_A와 x_B를 따로 구하는 대신 항등식 (x_A - x_B)² = (x_A + x_B)² - 4x_A x_B에서 차를 바로 읽어 내면 된다. 마지막에 근호를 정리하는 자잘한 일은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 맡는다.

1STEP 1

y좌표는 곡선이 정해 준다

y좌표는 곡선이 정해 줍니다.

A = (x_A, log₂ x_A), B = (x_B, log₂ x_B)

2STEP 2

중점을 두 개의 평균으로 쪼개기

중점을 두 평균으로 쪼갭니다.

(x_A + x_B)/2 = 6 ⟹ x_A + x_B = 12; (log₂ x_A + log₂ x_B)/2 = 2 ⟹ log₂ x_A + log₂ x_B = 4

3STEP 3

로그의 합을 곱으로 바꾸기

로그의 합이 곱의 로그가 됩니다.

log₂ x_A + log₂ x_B = log₂(x_A x_B) = 4 ⟹ x_A x_B = 2⁴ = 16

4STEP 4

합과 곱에서 차를 읽어 내기

합과 곱에서 차를 읽어 냅니다.

(x_A - x_B)² = (x_A + x_B)² - 4x_A x_B = 12² - 4 · 16 = 144 - 64 = 80

5STEP 5

양의 제곱근 취하기

양의 제곱근을 취합니다.

|x_A - x_B| = √(80) = √(16 · 5) = 4√(5)

6STEP 6

두 점이 실제로 있는지 확인하기

두 점이 실제로 있어 답은 4루트5입니다.

t² - 12t + 16 = 0 ⟹ t = 6 ± 2√(5); (6 + 2√(5)) - (6 - 2√(5)) = 4√(5) → (D)

정답

4√(5)

되찾은 두 점을 직접 넣어 보자. x_A = 6 + 2√(5) ≈ 10.4721, x_B = 6 - 2√(5) ≈ 1.5279이면 x의 평균은 (10.4721 + 1.5279)/2 = 6이다. 높이는 각각 log₂ 10.4721 ≈ 3.3885와 log₂ 1.5279 ≈ 0.6115이고 그 평균은 (3.3885 + 0.6115)/2 = 2.0000으로, 요구된 중점 (6,2)와 정확히 일치한다. 차는 약 8.9443이고 4√(5) ≈ 8.9443이므로 선택지 (D)가 확인된다. 곡선의 모양으로도 한 번 더 점검할 수 있다. y = log₂ x는 위로 볼록하므로 어떤 현의 중점이든 곡선보다 아래에 있어야 한다. x = 6에서 곡선의 높이는 log₂ 6 ≈ 2.585이고 주어진 중점의 높이 2는 그보다 아래이므로 문제 조건에 모순이 없다. 값이 가까운 두 선택지가 함정이다. 9 = √(81)은 √(80)을 어림한 모습이고, 8 = √(64)는 차인 80이 아니라 빼는 항 4 · 16 = 64에 근호를 씌운 결과다. 더 작은 2√(11) = √(44)와 4√(3) = √(48)은 곱을 잘못 잡았을 때 나오므로, 가장 조심해야 할 곳은 log₂ x_A + log₂ x_B = 4에서 x_A x_B = 2⁴을 끌어내는 단계다.

💡핵심 정리

로그를 더하는 것은 안의 수를 곱하는 것이므로 중점의 높이가 곱으로 바뀐다. 그리고 합과 곱을 알면 차는 (a-b)² = (a+b)² - 4ab에서 저절로 떨어진다.

y좌표는 곡선이 정해 준다
중점을 두 개의 평균으로 쪼개기
로그의 합을 곱으로 바꾸기
합과 곱에서 차를 읽어 내기
양의 제곱근 취하기
두 점이 실제로 있는지 확인하기