AMC 10 · 2023 · #9

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Pythagorean / Distance Formula for a Length

pythagorean-theoremarea-rectanglessimilar-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

넓이가 3인 정사각형 안에 넓이가 2인 기울어진 정사각형이 들어 있고 바깥 정사각형의 각 변에 한 번씩 닿습니다. 그 기울어짐이 네 모퉁이에서 합동인 직각삼각형 네 개를 잘라 냅니다. 그 직각삼각형의 짧은 변을 긴 변으로 나눈 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac15$

(B)

$\frac14$

(C)

$2-\sqrt3$

(D)

$\sqrt3-\sqrt2$

(E)

$\sqrt2-1$

풀이 과정

전략 그림 그리기

먼저 도구 #1(그림 그리기)로 모서리 삼각형 하나를 라벨링하면, 두 다리가 바깥 사각형의 한 변 위에 끝과 끝을 맞대고 누워 있으므로 두 다리의 합이 바깥 변 √(3) 임이 그림에서 곧장 보입니다. 같은 그림에서 빗변이 안쪽 사각형의 한 변 √(2) 임이 드러나므로 피타고라스 정리로 두 번째 식을 얻습니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 짧은 변 x 와 긴 변 y 에 대한 두 방정식을 깔끔히 정리해 닫힌 형태의 비를 뽑아냅니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 닫힌 형태를 수치 근사로 다섯 선택지와 맞춰 확인합니다.

1STEP 1

두 변의 길이 구하기

넓이에서 한 변을 구합니다.

s_바깥 = √(3), s_안쪽 = √(2)

2STEP 2

두 변의 합과 빗변

두 변의 합이 바깥 변입니다.

x + y = √(3), 빗변 = √(2)

3STEP 3

피타고라스 쓰기

피타고라스가 제곱의 합을 줍니다.

x² + y² = (√(2))² = 2

4STEP 4

곱 구하기

합과 제곱합에서 곱이 나옵니다.

(x+y)² = x² + 2xy + y² = 3 → 2xy = 3 - (x²+y²) = 3 - 2 = 1

5STEP 5

두 변 구하기

이차방정식이 두 변을 줍니다.

2t² - 2√(3) t + 1 = 0 → t = (2√(3) ± √(12 - 8))/4 = (2√(3) ± 2)/4 = (√(3) ± 1)/2

6STEP 6

비 만들기

짧은 변을 긴 변으로 나눕니다.

x/y = ((√(3)-1)/2)/((√(3)+1)/2) = (√(3)-1)/(√(3)+1)

7STEP 7

유리화하기

분모의 근호를 없앱니다.

(√(3)-1)/(√(3)+1) · (√(3)-1)/(√(3)-1) = ((√(3)-1)²)/(3-1) = (3 - 2√(3) + 1)/2 = (4 - 2√(3))/2 = 2 - √(3)

8STEP 8

보기와 맞추기

비는 2 빼기 루트3입니다.

2 - √(3) ≈ 0.268 → (C)

정답

2-√3

수치 점검: x + y = (√(3)-1)/2 + (√(3)+1)/2 = √(3)으로 바깥 변과 일치하고, x² + y² = ((√(3)-1)² + (√(3)+1)²)/4 = (4-2√(3)) + (4+2√(3))/4 = 8/4 = 2로 안쪽 변의 제곱과 일치. 방향 점검: 짧은 변 / 긴 변 은 1 보다 작아야 하는데 2 - √(3) ≈ 0.268 ∈ (0,1) — 통과.

💡핵심 정리

기울어진 정사각형을 그려서 모서리 삼각형 하나에 이름을 붙이면 두 가지 사실이 동시에 보입니다: 두 다리가 바깥 변 하나를 채워 x + y = √(3), 빗변이 안쪽 변이라 x² + y² = 2. 그 다음은 8학년 제곱근 대수가 마무리.