AMC 10 · 2023 · #10

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

coordinate-geometrytangent-circlessystems-of-equationsslope-intercept convert-to-algebracoordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

좌표평면에 원 두 개가 있습니다. 하나는 반지름이 4이고 중심이 x축 양의 방향에 있으며 원점에서 y축에 접합니다. 다른 하나는 반지름이 10이고 중심이 y축 양의 방향에 있으며 원점에서 x축에 접합니다. 두 원은 두 점에서 만납니다. 그 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\dfrac{2}{7}$

(B)

$\dfrac{3}{7}$

(C)

$\dfrac{2}{\sqrt{29}}$

(D)

$\dfrac{1}{\sqrt{29}}$

(E)

$\dfrac{2}{5}$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

문제는 접함과 축에 대한 말로만 주어져 있으므로 도구 #13(대수로 바꾸기)이 전체를 이끕니다. 각 원이 방정식이 되고 나면 그 뒤는 전부 식을 다루는 일입니다. 첫 번째 실질적인 일은 도구 #1(그림 그리기)이 합니다. "원점에서 y축에 접한다"는 말은 그림으로 하는 말이고, 그 그림을 읽어야 중심이 범위가 아니라 딱 한 점으로 정해집니다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 경첩입니다. 표준형 (x-h)²+(y-k)²=r²은 여기서 필요한 것을 오히려 가려 버리고, 두 원을 모두 x²+y²=(일차식) 꼴로 펼쳐 놓아야 두 식의 곡선 부분이 글자 그대로 똑같아집니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 결정타입니다. 문제는 두 점을 지나는 직선을 묻고 있어서 반사적으로 두 점부터 찾으려 하게 되는데, 점 대신 직선 자체를 쫓으면 두 점이 아예 필요 없어지고 문제 전체가 뺄셈 한 번으로 접힙니다. 마지막에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 곁가지 하나를 맡습니다. 두 원이 정말로 두 번 만나는지 확인해서, 뺄셈으로 찾은 직선이 실제로 존재하는 두 점을 지나는 직선임을 보장하는 일입니다.

1STEP 1

두 중심 찍기

접함이 중심을 정해 줍니다.

원 1의 중심 = (4,0), r₁=4; 원 2의 중심 = (0,10), r₂=10

2STEP 2

각 원의 방정식 쓰기

각 원을 방정식으로 씁니다.

(x-4)²+y²=16 그리고 x²+(y-10)²=100

3STEP 3

전개하면 상수가 사라짐

전개하면 상수항이 사라집니다.

x²+y²=8x 그리고 x²+y²=20y

4STEP 4

빼서 직선 얻기

빼면 제곱항이 사라집니다.

x²+y²=8x, x²+y²=20y ⟹ 8x=20y

5STEP 5

두 교점 찾기

대입해 두 교점을 찾습니다.

x²+(2/5x)²=8x ⟹ 29/25x²=8x ⟹ x(29x-200)=0 ⟹ (x,y)=(0,0) 또는 (200/29,80/29)

6STEP 6

기울기 읽기

기울기는 5분의 2입니다.

8x=20y ⟹ y=8/20x=2/5x ⟹ m=2/5 (E)

정답

2/5

풀이에서 나온 결과를 쓰지 말고 두 점을 원래의 원 방정식에 직접 넣어 봅니다. (0,0)의 경우 원 1은 (0-4)²+0²=16으로 r₁²=16과 맞고, 원 2는 0²+(0-10)²=100으로 r₂²=100과 맞습니다. (200/29,80/29)의 경우 원 1은 (200/29-116/29)²+(80/29)²=(84²+80²)/841=(7056+6400)/841=13456/841=16이고, 원 2는 (200/29)²+(80/29-290/29)²=(40000+44100)/841=84100/841=100입니다. 두 점 모두 두 원 위에 정확히 놓이고, 두 점 사이의 기울기는 2/5입니다. 두 원이 실제로 두 번 만나야 한다는 것도 확인됩니다. 두 중심 (4,0)과 (0,10) 사이의 거리는 √(16+100)=√(116)≈ 10.77인데, 이 값이 10-4=6과 10+4=14 사이에 엄격히 들어가 있고 그것이 교점이 두 개일 조건입니다. 선택지 중 2/√(29)≈ 0.371과 1/√(29)≈ 0.186은 바로 그 √(116)=2√(29)로 만든 함정입니다. 정답 2/5=0.4는 앞의 것과 꽤 가까우므로, 어림하지 말고 8/20을 제대로 약분하는 것이 여기서 중요합니다.

💡핵심 정리

두 원의 방정식에는 똑같은 x²+y²이 들어 있으므로, 하나에서 다른 하나를 빼면 굽은 부분이 지워지고 두 교점을 지나는 직선만 남습니다.

두 중심을 정확히 찍기
각 원의 방정식 쓰기
전개하면 상수항이 사라진다
빼면 직선이 나온다
두 교점 찾기
기울기 읽어내기