AMC 10 · 2023 · #11

학년 9 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

area-trapezoidpythagorean-theoremoptimizationcompleting-the-square convert-to-algebracompleting-the-squareextremal-construction ↑ 선수 지식: area-trapezoidpythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 다리의 길이가 각각 1이고 긴 밑변이 짧은 밑변의 정확히 두 배인 등변사다리꼴을 모두 생각합니다. 이 두 규칙만으로는 모양이 하나로 정해지지 않습니다. 그 모든 모양 중에서 넓이가 가장 클 때 그 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 54$

(B)

$\frac 87$

(C)

$\frac{5\sqrt2}4$

(D)

$\frac 32$

(E)

$\frac{3\sqrt3}4$

풀이 과정

전략 극단의 원리

최댓값을 묻고 있으므로 할 일은 두 가지다. 넓이가 결코 넘을 수 없는 천장을 찾고, 그 천장에 실제로 닿는 사다리꼴을 하나 만들어 보이는 것. 먼저 도형 집합에 손잡이 하나를 달아야 한다. 다리 길이가 고정되어 있고 긴 밑변이 짧은 밑변에 묶여 있으므로, 짧은 밑변만 정하면 나머지가 전부 따라온다. 즉 변수 하나면 충분하다. 양 끝에서 수선을 내리면 사다리꼴이 직사각형 하나와 합동인 직각삼각형 두 개로 쪼개지고, 높이는 피타고라스 정리가 바로 내어준다. 그런데 이렇게 얻은 넓이 식에는 근호가 들어 있어 그대로는 위끝을 잡기 불편하다. 그래서 정리 방식을 바꾼다. 넓이 대신 넓이의 제곱을 최대로 만든다. 제곱하면 근호가 사라지고 평범한 이차식 모양만 남아, 완전제곱이나 산술-기하 평균 부등식으로 천장이 눈에 보인다. 넓이는 양수이므로 제곱을 최대로 만드는 값이 곧 넓이를 최대로 만드는 값이어서, 이 맞바꾸기로 잃는 것은 없다. 어느 단계에서도 미분은 필요하지 않다.

1STEP 1

수 하나가 모양을 지배

짧은 밑변 하나가 모든 것을 정합니다.

짧은 밑변 = b, 긴 밑변 = 2b, 각 다리 = 1

2STEP 2

수선 내려 높이 구하기

피타고라스가 높이를 줍니다.

h² + (b/2)² = 1² ⟹ h = √(1 - b²/4)

3STEP 3

넓이를 함수로 쓰기

넓이가 하나의 함수가 됩니다.

A(b) = 1/2(b + 2b) h = 3b/2√(1 - b²/4), 0 ＜ b ＜ 2

4STEP 4

제곱해 근호 없애기

제곱하면 근호가 사라집니다.

A² = 9b²/4(1 - b²/4) u = b²/4= 9(4u)/4(1-u) = 9u(1-u), 0 ＜ u ＜ 1

5STEP 5

합이 일정한 두 조각

곱이 최대일 때 두 조각이 같습니다.

u(1-u) = 1/4 - (u - 1/2)² ≤ 1/4 ⟹ A² = 9u(1-u) ≤ 9/4 ⟹ A ≤ 3/2

6STEP 6

천장에 닿음 보이기

실제로 닿으므로 최댓값은 2분의 3입니다.

b = √(2), h = √(2)/2: A = 1/2(√(2) + 2√(2))·√(2)/2 = 3√(2)/2·√(2)/2 = 3/2

정답

3/2

b = √(2) ≈ 1.414 주변에서 도형을 구부려 보며 봉우리를 확인하자. b = 1.2이면 높이가 √(1 - 0.36) = 0.8이고 넓이는 3(1.2)/2(0.8) = 1.44다. b = 1.6이면 높이가 √(1 - 0.64) = 0.6이고 넓이는 3(1.6)/2(0.6) = 1.44로 똑같다. 둘 다 3/2보다 작고 서로 값이 같은데, 이는 치환 u = b²/4이 예고한 대칭이다. b = 1.2와 b = 1.6의 u 값이 각각 0.36과 0.64로 1/2을 사이에 두고 같은 거리에 있기 때문이다. 더 가까이 밀어 보면 b = 1.4에서 넓이는 약 1.49970, b = 1.45에서 약 1.49803으로 둘 다 3/2 = 1.5 바로 아래이고, 봉우리는 정확히 그 사이의 b = √(2) 자리에 있다. 허용 구간 0 ＜ b ＜ 2 전체를 촘촘히 훑어도 1.5를 넘는 값은 나오지 않으며, 최댓값은 b ≈ 1.41421, 즉 √(2)에서의 1.500000이다. 양 끝의 거동도 예상대로다. b → 0과 b → 2 모두 넓이를 0으로 몰아간다. 마지막으로 보기들을 증명된 천장에 대어 보자. (C)는 5√(2)/4 ≈ 1.768로 3/2보다 크므로, 모든 허용 b에 대해 A² ≤ 9/4임을 증명한 이상 불가능하다. (A) 1.25, (B) ≈ 1.143, (E) ≈ 1.299는 평범한 도형 b = 1.2가 이미 내는 1.44에조차 밀리므로 최댓값이 될 수 없다. 남는 것은 (D)뿐이다. 도형으로도 확인된다. 최댓값을 주는 사다리꼴은 직각삼각형의 두 변이 √(2)/2로 같으므로 밑각이 45°인데, 최적점에서 각이 이렇게 딱 떨어지는 것은 진짜 균형점의 흔한 표시다.

💡핵심 정리

근호 때문에 최댓값이 보이지 않으면 그 양의 제곱을 대신 최대로 만들어라. 그리고 남은 것이 합이 일정한 두 양수라면, 곱은 둘이 같을 때 가장 크다.

수 하나가 모양을 지배한다
수선을 내려 높이를 얻는다
넓이를 함수 하나로 적는다
제곱해서 근호를 없앤다
합이 일정한 두 조각
천장에 실제로 닿음을 보인다