AMC 10 · 2023 · #12

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

complex-numberssystems-of-equationsquadratic-equationsabsolute-value convert-to-algebraidentify-subproblemslogical-deduction ↑ 선수 지식: complex-numberssystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

복소수에 대해 새 연산이 정의됩니다. 보통의 곱셈처럼 섞지 않고, 두 실수부끼리 곱하고 두 허수 계수끼리 곱해 그것을 허수부로 붙입니다. 어떤 복소수가 자기 자신과의 새 연산 결과가 보통 제곱에 40을 더한 값과 같습니다. 그 복소수의 절댓값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$\sqrt{5}$

(D)

$\sqrt{10}$

(E)

$5\sqrt{2}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

연산 ⊗는 두 입력의 실수부와 허수부 계수를 하나씩 지목해서 정의됩니다. 그래서 z가 글자 하나로 남아 있는 동안에는 아무 말도 해 주지 않습니다. 그러므로 첫 수는 통째로 도구 #4(변수 도입하기)의 몫입니다. a와 b를 실수로 두고 z=a+bi라고 쓰는 순간, 양변 모두 실제로 계산할 수 있는 식이 됩니다. 다음 단계는 도구 #15(다르게 정리하기)가 맡습니다. 복소수 사이의 등식 하나는 사실 실수 사이의 등식 둘이며, 양변을 각각 실수부와 허수부로 갈라 정리해야만 그 둘이 눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 계산을 작게 유지합니다. 두 식을 연립해서 한꺼번에 풀 필요가 없기 때문입니다. 실수부 식은 혼자서 b²을 내놓고, 그 뒤에야 허수부 식이 a와 b를 이어 줍니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 두 번째 식을 마무리합니다. 인수분해하면 b=0과 b=2a라는 두 갈래가 생기고, 그중 하나를 먼저 지워야 다음으로 넘어갈 수 있습니다.

1STEP 1

부품이 보이게 쓰기

새 연산은 섞지 않습니다.

z ⊗ z = (a)(a)+(b)(b)i = a²+b²i

2STEP 2

보통 방식으로 제곱하기

보통 제곱은 부품을 섞습니다.

z² = (a+bi)² = (a²-b²)+2ab i ⟹ z²+40 = (a²-b²+40)+2ab i

3STEP 3

식 하나를 둘로 가르기

복소수 등식이 실수 식 두 개가 됩니다.

a²+b²i = (a²-b²+40)+2ab i ⟹ a² = a²-b²+40 ; b² = 2ab

4STEP 4

실수부에서 얻는 값

실수부가 한 제곱을 바로 줍니다.

a² = a²-b²+40 ⟹ 0 = -b²+40 ⟹ b²=40

5STEP 5

허수부에서 얻는 값

허수부가 나머지를 못 박습니다.

b²-2ab=0 ⟹ b(b-2a)=0; b²=40 ≠ 0 ⟹ b=2a ⟹ b²=4a²=40 ⟹ a²=10

6STEP 6

절댓값 조립하기

조립하면 5루트2입니다.

|z| = √(a²+b²) = √(10+40) = √(50) = √(25 · 2) = 5√(2) (E)

정답

5√(2)

실제 z를 하나 만들어 문제의 원래 문장에 직접 넣어 봅니다. a²=10, b²=40, b=2a에서 a=√(10), b=2√(10)을 골라 z = √(10)+2√(10) i로 둡니다. 왼쪽 변은 정의대로 z ⊗ z = a²+b²i = 10+40i입니다. 오른쪽 변은 보통 방식으로 z² = (10-40)+2(√(10))(2√(10))i = -30+40i이므로 z²+40 = 10+40i입니다. 양변이 일치하므로 이 z는 조건을 정말로 만족합니다. 그 절댓값은 √(10+40) = √(50) = 5√(2) ≈ 7.07입니다. 부호를 반대로 잡은 a=-√(10), b=-2√(10)도 조건을 만족하고 절댓값은 같으므로 답이 갈리지 않습니다. 크기 감각으로는 더 빨리 끝납니다. b²=40 하나만으로도 |z| = √(a²+b²) ≥ √(40) ≈ 6.32가 강제되는데, 이는 (A) 2, (B) 5, (C) √(5), (D) √(10)에는 이미 너무 큽니다. 남는 것은 (E)뿐입니다. (D) √(10)은 a²=10까지 구하고 한 줄 일찍 멈춘 사람을 위한 함정입니다.

💡핵심 정리

문제가 자기만의 연산을 만들어 내면 수를 a+bi로 쓰고 정의를 글자 그대로 따라갑니다. 그다음 실수부는 실수부끼리, 허수부는 허수부끼리 맞추면 식 하나가 쉬운 식 둘로 갈라집니다.

z를 부품이 보이게 쓰기
z를 보통 방식으로 제곱하기
식 하나를 둘로 가르기
실수부가 b의 제곱을 내준다
허수부가 a의 제곱을 못 박는다
절댓값 조립하기