AMC 10 · 2023 · #13
학년 8 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
개별 모서리 값은 필요 없고 대칭합 s₁=a+b+c, s₂=ab+bc+ca 만 있으면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)가 세 계단으로 분리: (a) 주어진 총합에서 s₁, s₂ 읽기, (b) (s₁)² = a²+b²+c² + 2s₂ 항등식으로 제곱합 구하기, (c) 피타고라스 정리의 3 차원 확장으로 공간 대각선 길이 산출. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 항등식 처리, 도구 #8(단위 살펴보기)가 결과가 길이임을 확인.
합과 곱의 합 읽기
두 조건이 합과 곱의 합을 줍니다.
직육면체의 표면적과 모서리 총합은 그 자체로 a, b, c 의 두 대칭합 — 우리가 필요한 정보가 이미 주어진 셈.
6.G.A.4Identify Subproblems제곱의 합 구하기
부피는 필요 없습니다.
a+b+c 를 제곱하면 각 a², b², c²가 한 번씩, 교차항 ab, bc, ca 가 두 번씩 — 빼야 할 항이 깔끔히 보임.
모서리 합을 제곱하면 각 모서리의 제곱이 한 번씩, 각 교차항이 두 번씩 이미 들어 있다.
▸ 왜?
합을 자기 자신과 곱해 펼치면 각 항이 다른 항에 퍼진다.
▸ 왜?
공간 대각선의 제곱은 정확히 세 모서리 제곱을 더한 것이므로, 떼어 낼 값어치가 있는 것이 그것이다.
대각선 구하기
제곱근을 취하면 4분의 9입니다.
공간 대각선은 한 면의 대각선과 남은 한 변을 다리로 하는 직각삼각형의 빗변 — 피타고라스를 두 번 적용하면 d² = a²+b²+c².
8.G.B.7Identify Subproblems단위 확인하기
길이의 제곱끼리 더했으니 단위가 맞습니다.
단위를 따라가면 실수가 바로 잡힘 — 대각선은 반드시 길이 단위로 떨어져야 함.
5.MD.A.1Analyze The Units개별 모서리 a, b, c 를 풀 필요가 없어요. 총합에서 a+b+c=13/4와 2(ab+bc+ca)=11/2를 읽고, 항등식 (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)가 a²+b²+c² = 81/16을 줍니다. 공간 대각선은 √(81/16) = (D) 9/4 — 부피는 미끼 정보였습니다.