AMC 10 · 2023 · #17

학년 11 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

law-of-cosinessine-area-formulasequences-arithmeticquadratic-equations convert-to-algebraidentify-subproblemsextreme-principle ↑ 선수 지식: law-of-cosinessequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

삼각형의 세 변의 길이가 등차수열을 이룹니다. 가장 짧은 변이 6이고 이 삼각형 어딘가에 120도인 각이 있습니다. 삼각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$12\sqrt{3}$

(B)

$8\sqrt{6}$

(C)

$14\sqrt{2}$

(D)

$20\sqrt{2}$

(E)

$15\sqrt{3}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

'등차수열'이라는 말은 선물이다. 모르는 변의 길이 세 개를 미지수 하나로 줄여 주기 때문이다. 공차를 d라 이름 붙이면 세 변은 6, 6+d, 6+2d로 강제되고, 삼각형들의 한 가족 전체가 손잡이 하나로 조종된다. 그러면 아직 쓰지 않은 조건은 120° 하나, 돌릴 손잡이도 하나이므로 그 조건이 d를 한 값으로 못 박아 줄 것이다. 다만 그 전에 결정할 것이 있다. 문제가 세 각 중 어느 것이 120°인지 숨기고 있다. 이것은 극단의 원리로 해결된다. 삼각형에서 가장 큰 각은 언제나 가장 긴 변과 마주 보는데, 여기서 120°는 가장 큰 각일 수밖에 없기 때문이다. 각을 올바른 꼭짓점에 세워 두고 나면 코사인법칙이 도형을 d에 대한 이차방정식으로 바꿔 주고, 마지막은 공짜로 주어진 그 각을 그대로 쓰는 넓이 공식 1/2absin C가 마무리한다.

1STEP 1

세 변을 문자 하나로

공차 하나가 세 변을 조종합니다.

세 변 = 6, 6+d, 6+2d (d ＞ 0)

2STEP 2

120도가 마주 보는 변

둔각은 하나뿐이라 가장 긴 변과 마주 봅니다.

120° 는 유일한 둔각 ⟹ 가장 큰 각 ⟹ 가장 긴 변 6+2d 와 마주 본다

3STEP 3

코사인법칙 쓰기

코사인법칙이 방정식을 줍니다.

(6+2d)² = 6² + (6+d)² - 2 · 6·(6+d)cos 120° = 6² + (6+d)² + 6(6+d)

4STEP 4

이차방정식 풀기

음수 근을 버립니다.

36 + 24d + 4d² = 108 + 18d + d² ⟹ 3d² + 6d - 72 = 0 ⟹ (d+6)(d-4)=0 ⟹ d = 4

5STEP 5

두 변과 낀 각으로 넓이

두 변과 낀 각으로 넓이를 구합니다.

넓이 = 1/2 · 6 · 10·sin 120° = 1/2 · 6 · 10·√(3)/2 = 15√(3)

6STEP 6

각을 되짚어 확인

확인하면 넓이는 15루트3입니다.

cos A = 13/14, cos B = 11/14, cos C = -1/2 ⟹ A ≈ 21.79°, B ≈ 38.21°, C = 120°, 합 = 180°

정답

15√(3)

완전히 다른 방법으로 넓이를 한 번 더 구해 맞춰 본다. 헤론의 공식은 세 변의 길이만 쓰므로 각도 필요 없고 120°가 어디 있는지에 대한 가정도 필요 없다. 반둘레는 s = (6+10+14)/2 = 15이므로 넓이는 √(15(15-6)(15-10)(15-14)) = √(15 · 9 · 5 · 1) = √(675) = √(225 · 3) = 15√(3)이다. 서로 독립적인 두 경로가 똑같은 값에 도착했고, 수치로도 둘 다 25.98이다. 다음으로, 2단계의 각 배치가 그저 편해서 고른 것이 아니라 강제된 것임을 대수로 확인한다. 만약 120°가 가장 짧은 변 6과 마주 본다면 코사인법칙은 36 = (6+d)² + (6+2d)² + (6+d)(6+2d)를 요구한다. 그런데 우변은 d=0에서 이미 108이고 d가 커질수록 더 커지며, 근은 d=-6과 d=-12/7로 둘 다 음수여서 모두 버려진다. 만약 120°가 가운데 변 6+d와 마주 본다면 (6+d)² = 36 + (6+2d)² + 6(6+2d)가 되어야 하는데, 정리하면 d² + 8d + 24 = 0이고 판별식이 64 - 96 = -32 ＜ 0이므로 실근이 아예 없다. 결국 가장 긴 변과 마주 보는 배치만 살아남으며, 이는 '가장 큰 각' 논증이 예측한 그대로다. 마지막으로 선택지와 크기를 견줘 본다. 이 삼각형은 가로 14, 세로 6짜리 틀 안에 들어가므로 넓이는 84보다 작고, 15√(3)≈ 25.98은 그 범위 안에 놓인다. 가까운 오답들은 모두 이보다 작은데 8√(6)≈ 19.60, 14√(2)≈ 19.80, 12√(3)≈ 20.78이다. 특히 12√(3)은 공차를 d=2로 잘못 읽었을 때 나오는 1/2 · 6 · 8·sin 120°의 값과 정확히 같다. 결국 d를 제대로 구하는 것이 이 문제의 전부다.

💡핵심 정리

각이 있다고만 하고 어디 있는지 알려 주지 않으면, 규칙이 강제하는 자리에 놓아라. 둔각은 언제나 가장 긴 변과 마주 본다. 그러고 나면 식 하나로 나머지가 전부 정해진다.

손잡이 하나가 세 변을 모두 조종한다
120°는 가장 긴 변과 마주 본다
코사인법칙으로 도형을 식으로 바꾸기
이차방정식을 풀고 불가능한 근을 버리기
두 변과 낀 각으로 넓이 구하기
120°가 정말 있는지 되짚어 확인하기