AMC 10 · 2023 · #3
학년 7 geometry-2d area-circlesinteger-pythagorean-triplesratio-proportionsimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesinteger-pythagorean-triples
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
세 변이 3, 4, 5인 직각삼각형이 한 원에 내접하고, 세 변이 5, 12, 13인 직각삼각형이 다른 원에 내접합니다. 첫 원의 넓이를 둘째 원의 넓이로 나눈 값을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{9}{25}$
(B)
$\frac{1}{9}$
(C)
$\frac{1}{5}$
(D)
$\frac{25}{169}$
(E)
$\frac{4}{25}$
풀이 과정
전략 그림 그리기
도구 #1로 각 원에 직각삼각형을 빠르게 그려 보면 핵심이 한눈에 — 직각 꼭짓점이 원 위에 있고 빗변은 원 한쪽 끝에서 반대쪽 끝까지 곧장 가로지릅니다. 따라서 빗변 = 지름. 그 사실이 보이는 순간 문제는 도구 #7로 세 개의 작은 문제로 쪼개집니다: (가) 각 지름 읽기, (나) 각 넓이를 지름으로 쓰기, (다) 비를 만들어 약분. 분수 제곱 한 번 외에는 무거운 대수가 필요 없습니다.
1STEP 1
첫 원의 지름
빗변이 지름입니다.
d_A = 5
원 위에 삼각형을 그리면 빗변이 원의 한쪽에서 반대쪽까지 곧장 — 그게 바로 지름.
원 위에 그린 직각삼각형은 빗변이 원을 가로질러 지름이 된다.
▸ 왜?
빗변의 중점은 세 꼭짓점에서 같은 거리에 있으므로, 그것이 중심이다.
원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.
▸ 왜?
그 같은 거리는 정확히 빗변의 절반이며, 직각이 그것을 보증한다.
피타고라스 정리직각삼각형에서 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같다(a²+b²=c²).
2STEP 2
둘째 원의 지름
둘째 원도 같은 방식입니다.
d_B = 13
같은 그림 근거를 다른 직각삼각형에 적용 — 또 빗변이 지름.
7.G.B.4Draw A Diagram3STEP 3
넓이의 비 세우기
넓이의 비는 지름의 비의 제곱입니다.
넓이_A/넓이_B = ((π d_A²)/4)/((π d_B²)/4) = (d_A/d_B)²
두 원의 넓이를 비교할 때 중요한 것은 지름의 비뿐 — π 와 4는 양쪽에 똑같이 있음.
7.G.B.4Identify Subproblems4STEP 4
계산하기
계산하면 169분의 25입니다.
(5/13)² = 25/169 → (D)
5/13의 제곱은 분자·분모를 각각 제곱 — 6학년 지수 규칙.
6.EE.A.1Identify Subproblems정답
25/169
크기 점검. 지름 5 vs 지름 13 — 원 A 가 원 B 보다 훨씬 작으니 비는 1 보다 한참 작아야 함. 25/169 ≈ 0.148로 부합. 선택지 중 1/4 미만은 (B) 1/9 ≈ 0.111, (C) 1/5 = 0.2, (D) 25/169 ≈ 0.148, (E) 4/25 = 0.16 — 지름 비의 제곱과 정확히 맞는 것은 (D) 뿐.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 7학년 원 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요 — 직각삼각형의 빗변이 곧 원의 지름이므로, 넓이 비는 그냥 (5/13)²입니다.
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