AMC 10 · 2023 · #6

학년 8 algebra

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

polynomial-rootssign-analysisparitypattern-recognition sign-analysispattern-recognitioncasework ↑ 선수 지식: polynomial-rootsparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 다항식이 1부터 10까지의 정수를 근으로 갖고 각 근의 중복도가 그 수 자신과 같습니다. 수직선에서 그 열 점을 빼면 열한 개의 열린 구간이 남습니다. 그중 다항식의 값이 양수인 구간이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): P(x)의 부호는 10 개 근이 표시된 수직선 위에서 자연스럽게 살아 — 수직선을 그리고 각 구간 위에 "+" 나 "-" 를 적으면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심 지름길을 잡습니다: (x-k)^k 가 x = k 에서 전체 부호를 뒤집는 것은 지수 k 가 홀수일 때뿐이고, 짝수 지수는 음수가 될 수 없습니다. 따라서 부호 변화는 홀수-지수 근에서만 일어납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 오른쪽 끝(P(x) ＞ 0 자명)부터 왼쪽으로 11 개 구간을 차례로 표시합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 검증용: P₃(x) = (x-1)(x-2)²(x-3)³으로 먼저 규칙 확인 후 10 개 근에 적용.

1STEP 1

구간 나열하기

열한 개의 구간을 나열합니다.

구간: (-∞,1),(1,2),(2,3),…,(9,10),(10,∞)

2STEP 2

부호가 바뀌는 근 찾기

짝수 중복도에서는 바뀌지 않습니다.

k 짝수: (x-k)^k ＞ 0 (x ≠ k). k 홀수: (x-k)^k 의 부호 = (x-k)의 부호

3STEP 3

바뀌는 곳 목록 만들기

홀수 근에서만 바뀝니다.

뒤집힘: 1, 3, 5, 7, 9; 그대로: 2, 4, 6, 8, 10

4STEP 4

오른쪽 끝에서 시작

오른쪽 끝은 양수입니다.

기준: P(x) ＞ 0 on (10, ∞)

5STEP 5

왼쪽으로 훑기

왼쪽으로 가며 부호를 채웁니다.

(10,∞){:}+ | 10:유지 | (9,10){:}+ | 9:뒤집 | (8,9){:}- | 8:유지 | (7,8){:}- | 7:뒤집 | (6,7){:}+ | 6:유지 | (5,6){:}+ | 5:뒤집 | (4,5){:}- | 4:유지 | (3,4){:}- | 3:뒤집 | (2,3){:}+ | 2:유지 | (1,2){:}+ | 1:뒤집 | (-∞,1){:}-

6STEP 6

양수 구간 세기

양수 구간은 6개입니다.

#{양수 구간} = 6 → (C)

정답

교대 패턴 점검. 왼쪽 끝 (-∞, 1)부터 시작해 오른쪽으로 가면서 부호를 적으면 - → + → + → - → - → + → + → - → - → + → + (1, 3, 5, 7, 9 에서만 뒤집힘, 나머지는 유지). "+" 개수 = 6으로 같은 결과. 표본점 검증: x = 1.5 에서 (0.5)¹ ＞ 0, (-0.5)² ＞ 0, (-1.5)³ ＜ 0, (-2.5)⁵ ＜ 0, (-3.5)⁷ ＜ 0, (-4.5)⁹ ＜ 0 — 음수 인수 4 개 (짝수 개) × 양수 인수 들 = P(1.5) ＞ 0. (1, 2)가 양수인 결과와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 "짝수 제곱은 음수가 아니다" 만 알면 풀 수 있어요 — 그 법칙 하나로 홀수 지수 근 (1, 3, 5, 7, 9)만 부호를 뒤집고, 수직선을 오른쪽에서 왼쪽으로 훑으면 양수 구간이 정확히 6 개.