AMC 10 · 2023 · #9

학년 8 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

absolute-valuecoordinate-geometrysymmetry-argumentarea-rectangles symmetry-argumentcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: absolute-valuecoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면에서 중첩된 절댓값으로 정의된 영역의 넓이를 구하세요. x의 절댓값에서 1을 뺀 것의 절댓값과 y에 대해서도 같은 값을 더한 결과가 1 이하인 점들의 모임입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): 좌표평면 위 영역이므로 스케치가 대수보다 빠릅니다. 도구 #9(더 쉬운 문제): 맨얼굴 부등식 |x| + |y| ≤ 1은 익숙한 기울인 단위 정사각형 (다이아몬드, 넓이 2) — 이걸 사분면마다 하나씩 짓는 것이 이중 절댓값을 전개하는 것보다 훨씬 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): f(± x, ± y) = f(x, y) 대칭으로 "Q1 넓이 × 4" 로 분리. Q1 내부에서는 |x - 1| + |y - 1| ≤ 1 — (1, 1) 중심의 기울인 단위 정사각형 — 한 번만 계산해 4를 곱하면 끝. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 (2, 4, 8, 12, 15)가 서로 큰 배수 차이라 Q1 넓이가 2 임을 알면 유일한 답은 8.

1STEP 1

대칭 확인하기

식이 부호에 대해 대칭입니다.

f(x,y) = | |x|-1 | + | |y|-1 |; f(-x,y) = f(x,-y) = f(x,y)

2STEP 2

한 사분면으로 줄이기

한 사분면에서는 절댓값이 벗겨집니다.

Q1 내: |x - 1| + |y - 1| ≤ 1

3STEP 3

꼭짓점 찾기

남는 도형은 마름모입니다.

꼭짓점: (0, 1), (2, 1), (1, 0), (1, 2)

4STEP 4

한 조각 넓이 구하기

한 조각의 넓이를 구합니다.

넓이_Q1 = 1/2 · 2 · 2 = 2

5STEP 5

네 배 하기

네 조각을 모두 더합니다.

넓이(R) = 4 · 넓이_Q1 = 4 · 2 = 8

6STEP 6

보기와 맞추기

넓이는 8입니다.

넓이 = 8 → (B)

정답

머릿속 그림 검증: R 은 (± 1, ± 1) 중심의 기울인 정사각형 네 개, 각 사각형의 꼭짓점은 중심에서 축 방향으로 1 떨어져 있음. "기울인 한 변" 길이가 √(2) 이므로 넓이 (√(2))² = 2, 네 개 = 8. 경계점 표본 검증: (0, 1) 에서 |0-1| + |1-1| = 1 — 경계 위. (0.5, 1) 에서 |0.5-1| + 0 = 0.5 ≤ 1 — 내부. (0, 2.5) 에서 |0-1| + |2.5-1| = 1 + 1.5 = 2.5 not ≤ 1 — 외부. 네 다이아몬드 그림과 일관.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 "반사는 도형을 보존한다" 만 알면 풀 수 있어요 — 네 사분면 각각이 똑같은 기울인 정사각형 (넓이 2) 하나씩을 담고 있어 총 넓이는 8입니다.