AMC 10 · 2024 · #13

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

exponential-functionline-symmetryreflection-symmetryexponentsfunction-evaluation convert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: exponentscoordinate-geometrylinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

곡선 y = e^(x+1) + e^(-x) - 2에는 대칭축이 있다고 합니다. 종이를 그 직선을 따라 접으면 곡선이 자기 자신에 정확히 포개진다는 뜻입니다. 그 직선을 찾고, 같은 직선을 따라 점 (-1, 1/2)을 접었을 때 어디로 가는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$

(B)

(-1,0)

(C)

$\left(-1,\frac{1}{2}\right)$

(D)

$\left(0,\frac{1}{2}\right)$

(E)

$\left(3,\frac{1}{2}\right)$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

e^x+1 + e^-x를 노려보다가 지수만 보고 축을 찍고 싶어진다. +1 때문에 x = -1이 특별해 보이고, e^-x 때문에 x = 0이 특별해 보이는데, 두 추측 모두 틀렸다. 그러니 찍지 말고 축에 이름을 붙인다. 축을 미지의 수직선 x = a라 하고, 그 선에서 옆으로 걸어간 거리를 t라 하자. 그러면 대칭이라는 말은 '모든 t에 대해 f(a+t) = f(a-t)'라는 정확한 뜻을 갖고, 그 뜻은 곧 방정식이다. 요구 조건이 방정식이 되면 지수법칙이 차 f(a+t) - f(a-t)를 두 인수의 곱으로 바꿔 주고, 그중 한 인수는 명백히 0이 아니므로 a가 추측 없이 못 박힌다. 점을 반사하는 뒷부분은 쉬운 쪽이다. 수직선에 대한 반사는 높이를 건드리지 않고 좌우 거리만 반대편으로 뒤집는다.

1STEP 1

축에 이름을 붙이고 대칭의 뜻을 적는다

모든 t에 대해 양쪽 값이 같다가 조건입니다.

f(x) = e^x+1 + e^-x - 2; x = a 가 대칭축 ⇔ f(a+t) = f(a-t) (모든 실수 t 에 대해)

2STEP 2

지수를 쪼개고 인수분해한다

차가 깔끔하게 두 인수의 곱으로 접힙니다.

f(a+t) - f(a-t) = (e^a+1e^t + e^-ae^-t) - (e^a+1e^-t + e^-ae^t) = (e^a+1 - e^-a)(e^t - e^-t)

3STEP 3

0이 될 수 있는 인수는 하나뿐이다

t쪽 인수는 0이 아니므로 앞쪽 인수가 0입니다.

(e^a+1 - e^-a)(e^t - e^-t) = 0 (모든 t ); e¹ - e⁻¹ ≠ 0 ⟹ e^a+1 - e^-a = 0

4STEP 4

밑이 같으면 지수도 같다

지수를 맞추면 축은 x = -1/2입니다.

e^a+1 = e^-a ⟹ a + 1 = -a ⟹ 2a = -1 ⟹ a = -1/2

5STEP 5

기준을 옮기면 대칭이 드러난다

기준을 옮기면 u와 -u가 대칭인 꼴이 됩니다.

u = x + 1/2: e^x+1 + e^-x - 2 = e¹/2e^u + e¹/2e^-u - 2 = √(e)(e^u + e^-u) - 2

6STEP 6

점을 축 너머로 넘긴다

x는 0으로 가고 y는 1/2 그대로입니다.

x' = 2a - x = 2(-1/2) - (-1) = -1 + 1 = 0, y' = 1/2; (-1 + 0)/2 = -1/2 = a ✓

7STEP 7

아깝게 틀린 선택지 확인하기

남는 것은 (0, 1/2) 하나뿐입니다.

(-1,-3/2), (-1,0): y 가 변함 ×; (-1,1/2) → a = -1 ×; (3,1/2) → a = 1 ×; a = -1/2 → (0,1/2)

정답

(0,1/2)

x = -1/2의 양옆으로 같은 거리를 걸어가며 축을 수치로 확인해 보자. t = 0.1일 때 f(-0.4) = 1.31394, f(-0.6) = 1.31394이다. t = 0.5일 때 f(0) = 1.71828, f(-1) = 1.71828이고, 둘 다 정확히 e - 1이다. t = 1일 때 f(0.5) = 3.08822, f(-1.5) = 3.08822이다. t = 10처럼 멀리 나가도 f(9.5) = 36313.503, f(-10.5) = 36313.503으로 같다. 걸음 폭이 무엇이든 값이 맞아떨어지는데, 이것이 바로 대칭축이 요구하는 조건이다. 버린 추측들은 같은 검사에서 즉시 무너진다. x = -1에 대해서는 f(0) = 1.718인데 f(-2) = 5.757이라 접어도 포개지지 않는다. 또 이 축은 접는 선이 있어야 할 자리, 곧 곡선의 가장 낮은 곳에 놓인다. f(-1/2) = 2√(e) - 2 ≈ 1.29744인 반면 f(-0.51)과 f(-0.49)는 둘 다 ≈ 1.29761로 서로 같으면서 더 높다. 마지막으로 대칭점 자체를 확인하자. (-1,1/2)에서 (0,1/2)로 가는 선분은 수평이므로 수직선 x = -1/2과 직각으로 만나고, 그 중점은 (-1/2,1/2)로 그 선 위에 있다. 수직으로 만나고 이등분된다는 것이 반사가 만족해야 할 두 조건 그대로다.

💡핵심 정리

식의 겉모습만 보고 대칭축을 찍지 마라. 축을 x = a라 부르고, 대칭이 요구하는 조건 f(a+t) = f(a-t)를 적은 다음, a가 무엇인지는 계산이 알려 주게 하라.

축에 이름을 붙이고 대칭의 뜻을 적는다
지수를 쪼개고 인수분해한다
0이 될 수 있는 인수는 하나뿐이다
밑이 같으면 지수도 같다
기준을 옮기면 대칭이 드러난다
점을 축 너머로 넘긴다
아깝게 틀린 선택지들을 확인한다