AMC 10 · 2024 · #18
학년 10 geometry-2d
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이 문제 전체가 같은 회전을 반복하는 것이므로 도구 #17(공간 상상하기)이 중심이 된다. 대각선을 맞추어 놓으면 모든 카드가 하나의 중심을 공유하게 되고, 모든 카드의 모든 꼭짓점은 그 중심에서 대각선의 절반만큼 떨어져 있으므로, 쌓여 가는 카드 전체가 원 하나 위에 놓인다. 이것이 보이면 카드는 더 이상 다시 그려야 할 직사각형이 아니라 원 위의 점 네 개일 뿐이고, 카드 한 장을 놓는 일은 그 네 점을 돌리는 일이 된다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 회전각을 알아내는 데 필요한 좌표를 준다. 회전각은 직사각형 안에 숨어 있는 각에서 나온다. 그다음은 도구 #5(패턴 찾기)의 차례다. 매번 같은 각만큼 돌기 때문에 네 점은 일정한 각도씩 원을 돌고 언젠가 그림이 되풀이된다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리한다. B에 올 수 있는 꼭짓점은 넷뿐이므로 넷을 모두 확인하고 가장 빠른 것을 고르면 된다.
모든 카드가 중심을 공유한다
대각선이 겹치므로 중심이 같습니다.
대각선을 맞추는 순간 모든 카드가 같은 핀에 꽂히므로 변하는 것은 방향뿐이다.
대각선을 맞추면 모든 카드가 같은 핀에 고정되므로, 달라지는 것은 방향뿐이다.
▸ 왜?
네 꼭짓점 모두 그 핀에서 같은 거리에 있으므로, 방향만으로 꼭짓점의 자리가 정해진다.
▸ 왜?
카드를 돌리거나 뒤집어도 늘어나지 않고 옮겨지므로, 그 거리는 결코 달라지지 않는다.
숨은 30-60-90 삼각형 찾기
루트 3이 60도를 불러옵니다.
변의 길이에 들어 있는 √(3)은 정삼각형의 절반이 숨어 있다는 신호다.
8.G.B.7Draw A Diagram대각선이 잘라내는 15도
이등변삼각형이 15도를 만들어 줍니다.
두 변이 같으면 두 각이 같아지고, 남은 각 하나가 곧 대각선의 기울기가 된다.
10.G-CO.C.10Draw A Diagram네 꼭짓점의 방향 읽기
네 꼭짓점은 75, 105, 255, 285도에 있습니다.
모든 꼭짓점이 중심에서 같은 거리에 있으므로 방향만 알면 위치가 정해진다.
10.G-GPE.B.4Visualize Spatial Relationships한 번 놓으면 30도 돈다
반사를 하면 전체가 30도씩 돕니다.
대각선을 축으로 뒤집는 것과 두 대각선이 이루는 각만큼 돌리는 것은 네 꼭짓점에 대해 같은 결과를 낸다.
8.G.A.1Visualize Spatial Relationships표시를 원 위에서 따라가기
각 꼭짓점이 B에 닿는 순번을 계산합니다.
같은 각만큼 계속 돌면 도형 문제가 12시간 시계를 몇 칸 돌았는지 세는 문제로 바뀐다.
4.OA.C.5Look For A Pattern가장 빠른 순간 고르기
가장 이른 것은 6번째입니다.
중심에서 같은 거리에 같은 방향이면 완전히 같은 점이다.
8.G.A.3Eliminate Possibilities대각선을 맞추는 순간 모든 카드가 같은 중심에 고정되므로 새 카드는 30° 회전일 뿐이고, B에 올라오는 것은 B 자리 꼭짓점만이 아니라 네 꼭짓점 중 어느 것이어도 된다.
- 모든 카드가 중심을 공유한다
- 숨은 30-60-90 삼각형 찾기
- 대각선이 잘라내는 15도
- 네 꼭짓점의 방향 읽기
- 한 번 놓으면 30도 돈다
- 표시를 원 위에서 따라가기
- 가장 빠른 순간 고르기