AMC 10 · 2024 · #19

학년 11 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
cyclic-quadrilaterallaw-of-cosinesptolemys-theoreminscribed-anglequadratic-equations identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: law-of-cosinesinscribed-anglequadratic-equations
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 그 순서로 놓여 사각형 ABCD를 이룹니다. 네 변 중 세 변이 주어집니다. BC는 3, CD는 3, DA는 5입니다. 나머지 변 AB는 주어지지 않았습니다. D에서의 내각, 곧 변 DC와 변 DA 사이의 각은 120도입니다. 두 대각선 AC와 BD 중 짧은 쪽의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{31}7$
(B)
$\frac{33}7$
(C)
5
(D)
$\frac{39}7$
(E)
$\frac{41}7$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

사각형에는 그 자체의 공식이 별로 없지만 삼각형에는 있다. 그러니 ABCD를 대각선으로 갈라 삼각형만 다루는 것이 방향이다. 어디를 가를지는 마음대로가 아니다. 주어진 120° 각이 주어진 두 변 CD와 DA 사이에 정확히 끼어 있으므로, AC를 따라 자르면 두 변과 낀각이 모두 알려진 삼각형 하나가 나온다. 이 삼각형은 코사인법칙 한 번에 무너지고 AC를 내놓는다. 남은 △ ABC는 두 개를 알고 한 변을 모르는 상태인데, 내접이라는 조건이 모자란 각을 채워 준다. 여기까지 오면 네 변과 대각선 하나를 모두 알게 되고, 톨레미 관계식이 그것을 나머지 대각선 하나로 한 줄에 바꿔 준다. 계획의 마지막 조각은 대개 사람들이 건너뛰는 부분이다. 문제가 묻는 것은 '더 짧은' 대각선이므로 두 개를 모두 구해 비교해야 하고, 짐작으로 끝내면 안 된다.

1STEP 1

그림을 그리고 자를 곳을 고른다

120도가 낀 삼각형 ACD부터 손댑니다.

대각선: AC, BD. 주어진 것: BC = 3, CD = 3, DA = 5, ∠ CDA = 120°. 빠진 변: AB
2STEP 2

코사인법칙으로 AC 구하기

깔끔하게 AC는 7이 나옵니다.

AC² = CD² + DA² - 2 · CD · DA · cos ∠ CDA = 3² + 5² - 2(3)(5)(-1/2) = 9 + 25 + 15 = 49 ⟹ AC = 7
3STEP 3

원이 B의 각을 정해 준다

마주 보는 각이므로 B는 60도입니다.

∠ ABC + ∠ CDA = 1/2(호 ADC) + 1/2(호 ABC) = 1/2(360°) = 180° ⟹ ∠ ABC = 180° - 120° = 60°
4STEP 4

이차방정식을 풀어 AB 구하기

양수 근만 살아남아 AB는 8입니다.

AC² = AB² + BC² - 2 · AB · BC · cos ∠ ABC ⟹ 49 = x² + 9 - 2(x)(3)(1/2) = x² - 3x + 9 ⟹ x² - 3x - 40 = 0 ⟹ (x - 8)(x + 5) = 0 ⟹ AB = 8
5STEP 5

톨레미가 두 번째 대각선을 내놓는다

톨레미로 BD는 7분의 39입니다.

AC · BD = AB · CD + BC · DA ⟹ 7 · BD = 8 · 3 + 3 · 5 = 24 + 15 = 39 ⟹ BD = 39/7
6STEP 6

짐작하지 말고 비교한다

둘을 재 보면 짧은 쪽은 7분의 39입니다.

AC = 7 = 49/7, BD = 39/7, 39 ＜ 49 ⟹ 39/7 ＜ 49/7 ⟹ BD ＜ AC
정답
39/7
먼저 원 자체가 강제하는 크기 검사부터 하자. △ ACD에 확장 사인법칙을 쓰면 지름은 2R = AC/(sin ∠ ADC) = 7/√(3)/2 = 14/√(3) ≈ 8.083이다. 어떤 현도 이보다 길 수 없다. 계산해 낸 AB = 8은 이 한계를 0.1도 안 되는 차이로 통과한다. 꽤 빡빡한 시험이어서, 이차방정식에서 계산이 조금만 어긋났어도 원 안에 들어가지 못하는 변이 나왔을 것이다. 대각선 AC = 7과 BD = 39/7 ≈ 5.571은 여유 있게 들어간다. 삼각부등식도 성립한다. △ ACD는 세 변이 3, 5, 7이고 3 + 5 = 8 ＞ 7이며, △ ABC는 8, 3, 7이고 3 + 7 = 10 ＞ 8이다. 다음은 직접 만들어 보는 검산이다. 중심을 원점에 두고 R = 7/√(3) ≈ 4.0415로 잡은 뒤 A = (4.0415, 0), D = (0.9485, 3.9286), C = (-2.0207, 3.5000), B = (-3.8765, 1.1429)를 놓는다. 네 점 모두 원점에서 거리가 R이고 원 위에서 A, B, C, D 순서로 배열된다. 좌표에서 바로 재면 BC = 3.0000, CD = 3.0000, DA = 5.0000, AB = 8.0000, ∠ CDA = 120.00°, ∠ ABC = 60.00°로 주어진 조건이 전부 재현된다. 대각선은 AC = 7.0000, BD = 5.5714로 나오고 5.5714는 정확히 39/7이므로 더 짧은 쪽은 BD가 맞다. 톨레미도 7 × 5.5714 = 39.000 = 8 · 3 + 3 · 5로 맞아떨어진다. 마지막으로 선택지에 대한 한마디. 긴 대각선 7은 다섯 개의 선택지에 아예 없으므로 급하면 중간에 멈춰도 됐을 것이다. 그러나 그것은 이 선택지가 그렇게 쓰였다는 사실일 뿐 증명이 아니고, 7이 선택지에 들어 있는 문제였다면 그대로 무너진다. 한편 39/7 ≈ 5.57은 선택지 (C) 5와 (E) 41/7 ≈ 5.86 사이에 놓이는데, 지름이 8.08인 원에서는 셋 다 있을 법한 현의 길이라 선택지는 아무런 힌트도 주지 않는다. 결국 마지막 단계의 명시적인 비교가 실제로 답을 확정한다.
💡핵심 정리

원에 내접하는 사각형은 이미 아는 두 변 사이에 놓인 대각선을 따라 자르고, 마주 보는 두 각이 180°라는 규칙으로 알아낸 것을 반대편까지 실어 나르면 된다.

  • 그림을 그리고 자를 곳을 고른다
  • 코사인법칙으로 AC = 7
  • 원이 B의 각을 정해 준다
  • 이차방정식을 풀어 AB 구하기
  • 톨레미가 두 번째 대각선을 내놓는다
  • 짐작하지 말고 비교한다

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