AMC 10 · 2024 · #22

학년 7 countinggeometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

systematic-enumerationspatial-visualizationpattern-recognitioncombinations-basic identify-subproblemscaseworkpattern-recognition ↑ 선수 지식: systematic-enumerationspatial-visualization

📏 긴 풀이 💡 5 개 인사이트 📊 도형

문제

가로 8칸 세로 3칸짜리 점 격자에서 칼은 1인치 이쑤시개를 칸의 변을 따라 놓아 스스로 교차하지 않는 하나의 닫힌 고리를 만듭니다. 가운데 줄의 모든 칸에는 1이 적혀 있는데, 그 칸은 네 변 중 정확히 하나만 고리에 쓰였다는 뜻입니다. 다른 줄에는 조건이 없습니다. 가능한 고리의 개수를 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

130

(B)

144

(C)

146

(D)

162

(E)

196

풀이 과정

전략 그림 그리기

"가운데 칸마다 정확히 한 변" 이라는 규칙은 말로만 들으면 잡히지 않습니다. 그래서 첫 수는 도구 #1(그림 그리기): 8 × 3 격자를 그려놓고 가운데 칸 하나하나에 대해 "네 변 중 어느 변이 고리 위에 있을까?" 라고 묻는 것입니다. 그림에서 곧바로 두 가지 구조 가족이 보이고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (A) 가운데 줄을 통과하지 않고 위 또는 아래에만 머무는 고리와 (B) 가운데 줄을 윗변 T_i 와 아랫변 B_i 를 섞어가며 "엮는" 고리로 셈을 분할할 수 있습니다. (B) 안에서는 도구 #5(패턴 찾기)가 받습니다 — 가운데 줄 안쪽 칸 하나하나가 독립적인 위/아래 선택이라, 자유 칸 개수에 따라 2^k 꼴이 깔끔하게 나옵니다.

1STEP 1

칸마다 조건 쓰기

각 칸의 네 변 중 정확히 하나만 쓰입니다.

모든 i: #{T_i, B_i, V_i, V_i+1} ∩ 고리 = 1

2STEP 2

안쪽 세로 막대 지우기

이웃을 비교하면 안쪽 세로는 모두 금지됩니다.

V₁, V₂, …, V₇ ∉ 고리

3STEP 3

두 갈래로 나누기

고리는 바깥 테두리형과 나머지로 갈립니다.

#고리 = #(A) + #(B)

4STEP 4

첫 갈래 세기

테두리형은 2가지뿐입니다.

#(A) = 2

5STEP 5

안쪽 자유도 세기

칸마다 위 또는 아래 둘 중 하나를 고릅니다.

안쪽 선택: 2 × 2 × … × 2 = 2⁶ = 64 (가장자리 닫힘 한 경우당)

6STEP 6

둘째 갈래 세기

네 경우를 더하면 144가지입니다.

#(B) = 2⁶ + 2⁵ + 2⁵ + 2⁴ = 64 + 32 + 32 + 16 = 144

7STEP 7

두 갈래 합치기

2 더하기 144는 146입니다.

#고리 = 2 + 144 = 146 → (C)

정답

146

분해 2 + 64 + 32 + 32 + 16 = 146의 모양이 자연스럽습니다. 평범한 직사각형 두 개에 더해, 2의 거듭제곱 가족 {16, 32, 32, 64}가 비율 1{:}2{:}2{:}4로 나오는데, 이는 자유 안쪽 칸 수 4, 5, 5, 6과 그대로 맞아떨어집니다. 격자의 좌우 대칭 덕에 (B2)와 (B3)의 셈이 같아야 하고, 실제로 32 = 32로 일치 — 공짜 확인입니다. 답 146은 선택지에 정확히 있으며, 인접 오답 144는 평범한 직사각형 두 개를 빼먹은 값이고, 130 이나 162는 그림이 지지하지 않는 비대칭 셈에서 나옵니다.

💡핵심 정리

어려워 보이는 셈도 그림을 그려놓고 칸마다 "한 변은 어디?" 라는 독립적 yes/no 를 묻는 순간 작아집니다. 여기서는 자유로운 가운데 칸 하나하나가 위/아래 동전 던지기였고, 2 + 2⁴ + 2⁵ + 2⁵ + 2⁶ = 146으로 선택지 (C)에 도착합니다.