AMC 10 · 2024 · #13

학년 9 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

completing-the-squareoptimizationsystems-of-equations extreme-principleconvert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: completing-the-squarequadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

실수 네 개 x, y, h, k가 x제곱 더하기 y제곱 빼기 6x 빼기 8y는 h, 그리고 x제곱 더하기 y제곱 빼기 10x 더하기 4y는 k를 동시에 만족합니다. 같은 (x, y)가 두 식에 함께 들어가므로 (x, y)를 정하면 h와 k가 따라 정해집니다. (x, y)가 모든 실수쌍을 훑을 때 h 더하기 k가 가질 수 있는 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-54

(B)

-46

(C)

-34

(D)

-16

(E)

풀이 과정

전략 극단의 원리

최솟값을 묻고 있으므로 할 일은 두 가지다. h+k가 절대 내려갈 수 없는 바닥을 찾고, 그 바닥에 실제로 닿는다는 것까지 보이는 것. 함정은 h의 바닥과 k의 바닥을 따로따로 찾는 것이다. 그러면 실패한다. h가 바닥을 치는 자리와 k가 바닥을 치는 자리가 서로 다른데, 점 (x,y) 하나가 두 자리에 동시에 있을 수는 없기 때문이다. 그래서 관점을 바꾼다. h와 k를 따로 좇지 말고, 문제가 실제로 묻는 하나의 양인 h+k만 좇는다. 두 식을 더하면 h+k가 x와 y에 대한 식 하나가 되고, 그 식을 제곱들의 합에 상수를 더한 꼴로 고쳐 쓰면 제곱은 음수가 될 수 없으므로 바닥이 눈에 그대로 보인다.

1STEP 1

한 점이 두 식을 함께 먹인다

같은 (x, y)가 h와 k를 동시에 정합니다.

h = x² + y² - 6x - 8y, k = x² + y² - 10x + 4y (같은 (x,y)에 대해)

2STEP 2

최솟값을 더하지 말고 식을 더한다

더하면 변수 하나짜리 이차식 둘이 남습니다.

h + k = (x² + y² - 6x - 8y) + (x² + y² - 10x + 4y) = 2x² + 2y² - 16x - 4y

3STEP 3

제곱 꼴로 고쳐 쓰기

완전제곱으로 바꾸면 상수가 마이너스 34입니다.

h + k = 2(x² - 8x) + 2(y² - 2y) = 2[(x-4)² - 16] + 2[(y-1)² - 1] = 2(x-4)² + 2(y-1)² - 34

4STEP 4

제곱은 값을 내려 주지 못한다

제곱이 모두 0일 때 바닥에 닿습니다.

2(x-4)² ≥ 0 이고 2(y-1)² ≥ 0 ⟹ h + k ≥ -34, 등호는 (x,y) = (4,1) 에서만

5STEP 5

바닥에 실제로 닿는지 확인하기

점 (4, 1)에서 정확히 도달합니다.

x=4, y=1: h = 16 + 1 - 24 - 8 = -15, k = 16 + 1 - 40 + 4 = -19, h+k = -34

6STEP 6

따로 최소화하는 함정 걸러내기

두 최소점이 달라 답은 마이너스 34입니다.

h = (x-3)² + (y-4)² - 25 는 (3,4); k = (x-5)² + (y+2)² - 29 는 (5,-2); (3,4) ≠ (5,-2)

정답

-34

(4,1)에서 조금씩 벗어나며 최솟값 주장을 시험해 본다. (4.1, 1)에서는 h = -14.79, k = -19.19로 합이 -33.98이다. (4, 1.1)에서는 h = -15.59, k = -18.39로 역시 합이 -33.98이다. (5,2)에서는 합이 -30, (3,0)에서도 -30이다. 가까운 점은 모두 -34보다 크게 나오고, 네 방향으로 대칭적으로 값이 올라가는데 이는 2(x-4)² + 2(y-1)² - 34가 예측하는 그대로다. 선택지 크기와도 맞아떨어진다. -54는 양립할 수 없는 두 점이 필요하므로 답은 그보다 커야 하고, 점 하나가 이미 -34를 만들어 내므로 답은 -16이나 16보다는 훨씬 작아야 한다. 기하로 봐도 같은 결론이다. 첫 식은 (x,y)가 중심 (3,4), 반지름 √(h+25)인 원 위에 있다는 뜻이고, 둘째 식은 중심 (5,-2), 반지름 √(k+29)인 원 위에 있다는 뜻이다. (4,1)에서 두 반지름은 모두 √(10)이고 그 합은 2√(10)인데, 두 중심 사이의 거리도 √(2² + 6²) = √(40) = 2√(10)이다. 두 원은 정확히 접하고 접점은 (4,1), 곧 두 중심을 잇는 선분의 중점이다. 이 접함이 바로 최솟값의 그림이다. 반지름이 조금이라도 더 작아지면 두 원은 떨어져 버려 공유하는 점이 사라진다.

💡핵심 정리

합의 최솟값을 물으면 먼저 더한 다음 완전제곱을 만들어라. 두 조각이 각자의 최솟값에 동시에 도달하도록 허락받지 못했을 수도 있기 때문이다.

한 점이 두 식을 함께 먹인다
최솟값을 더하지 말고 식을 더한다
제곱 꼴로 고쳐 쓰기
제곱은 값을 내려 주지 못한다
바닥에 실제로 닿는지 확인하기
따로 최소화하는 함정 걸러내기