AMC 10 · 2024 · #15

학년 11 geometry-2dalgebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Lattice or Non-Aligned Polygon Area

logarithm-propertiesshoelace-formulacoordinate-geometryarea-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

좌표평면 위 삼각형의 세 꼭짓점이 A는 로그 2 밑의 1과 로그 2 밑의 2, B는 로그 2 밑의 3과 로그 2 밑의 4, C는 로그 2 밑의 7과 로그 2 밑의 8입니다. 삼각형 ABC의 넓이를 밑이 2인 로그 하나로 나타내세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\log_2\frac{\sqrt3}7$

(B)

$\log_2\frac3{\sqrt7}$

(C)

$\log_2\frac7{\sqrt3}$

(D)

$\log_2\frac{11}{\sqrt7}$

(E)

$\log_2\frac{11}{\sqrt3}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

겉보기에는 로그 문제지만, 속을 열어 보면 변장을 한 평범한 좌표기하 문제입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)가 변장을 대부분 벗겨 냅니다. 각 좌표를 가장 간단한 꼴로 다시 쓰면 여섯 좌표 중 넷이 정수 0, 1, 2, 3이 됩니다. 남는 것은 log₂ 3과 log₂ 7뿐이고, 이는 도구 #4(변수 도입하기)로 p, q라고 부르면 됩니다. 이들은 풀어서 구할 미지수가 아니라 값이 정해진 수이므로, 이름을 붙이는 것만으로 식이 훨씬 읽기 쉬워집니다. 이제 A(0,1), B(p,2), C(q,3)이라는 평범한 삼각형이 되어, 도구 #1(그림 그리기)로 아주 얇은 삼각형임을 확인하고 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 신발끈 공식을 써서 p, q에 대한 정확한 식을 얻습니다. 마지막은 다시 도구 #15로, 그 식을 선택지가 요구하는 로그 하나의 꼴로 되돌립니다.

1STEP 1

쉬운 로그부터 값으로 바꾸기

y좌표가 모두 1, 2, 3이 됩니다.

A = (0, 1), B = (log₂ 3, 2), C = (log₂ 7, 3)

2STEP 2

남은 두 로그에 이름 붙이기

x좌표만 로그로 남습니다.

p = log₂ 3, q = log₂ 7 → A(0,1), B(p,2), C(q,3)

3STEP 3

점을 찍어 보고 얇은 삼각형임을 알기

세 점이 거의 한 직선 가까이 놓입니다.

1 ＜ p ＜ 2, 2 ＜ q ＜ 3

4STEP 4

한 꼭짓점을 원점에 두고 신발끈 쓰기

넓이는 2p 빼기 q의 절반입니다.

[ABC] = 1/2lvert p · 2 - q · 1 rvert = 1/2lvert 2p - q rvert

5STEP 5

로그를 되돌리고 부호 정하기

값이 양수임을 확인합니다.

1/2(2log₂ 3 - log₂ 7) = log₂ 3 - 1/2log₂ 7

6STEP 6

로그 하나로 합치기

합치면 로그 2 밑의 3 나누기 루트 7입니다.

log₂ 3 - 1/2log₂ 7 = log₂ 3 - log₂ √(7) = log₂ 3/√(7)

정답

log₂₃/√7

정리한 식과 원래 계산을 수치로 맞춰 봅니다. p ≈ 1.5850, q ≈ 2.8074이므로 신발끈 값은 1/2lvert 2(1.5850) - 2.8074rvert ≈ 1/2(0.3626) ≈ 0.1813입니다. 선택지 (B)를 그 표현 그대로 계산하면 3/√(7) ≈ 1.1339이고 log₂ 1.1339 ≈ 0.1813으로 값이 일치하니, 로그 정리 과정에서 잃어버린 것이 없습니다. 그림에서 아주 얇은 삼각형을 예상했는데 0.1813은 실제로 매우 작습니다. 다른 선택지는 바로 걸러집니다. (A)는 진수가 1보다 작아 로그값이 음수인데 넓이는 음수가 될 수 없습니다. (C), (D), (E)는 진수가 대략 4에서 6.4 사이라 값이 약 2.0에서 2.7이고, 이는 열 배도 넘게 큽니다. 또 1/2을 빠뜨리면 log₂ 9/7이 나오는데 선택지에 없습니다. 선택지 자체가 그 실수를 알려 주는 셈입니다.

💡핵심 정리

좌표가 로그로 변장하고 있을 때는, 쉬운 로그부터 값으로 바꾸고 버티는 것에는 짧은 이름을 붙여 평범한 좌표기하로 풀자. 그리고 마지막에 로그 법칙으로 그 수를 선택지가 쓰는 꼴로 되돌리면 된다.

쉬운 로그부터 값으로 바꾸기
남은 두 로그에 이름 붙이기
점을 찍어 보고 얇은 삼각형임을 알기
한 꼭짓점을 원점에 두고 신발끈 쓰기
로그를 되돌리고 부호 정하기
로그 하나로 합치기