AMC 10 · 2024 · #23
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
V에서의 직각은 삼차원 공간에 떠 있어서 머릿속에 붙들고 있기가 어렵다. 하지만 A, V, D는 점 세 개뿐이고 세 점은 언제나 한 평면 위에 있으므로, 조건 전체를 납작한 삼각형 하나로 끌어내릴 수 있다. 평면으로 내려놓고 보면 그 삼각형이 45-45-90 삼각형이어서 옆모서리와 밑면 안의 거리 AD가 곧바로 연결된다. 그러면 남는 것은 팔각형의 평범한 길이 두 개를 재는 일뿐인데, 둘을 한꺼번에 얻는 가장 빠른 길은 팔각형을 정사각형의 네 귀퉁이를 잘라낸 모양으로 보고 좌표축 위에 올리는 것이다. 마지막은 높이의 제곱에 대한 한 줄짜리 방정식이다.
직각을 삼각형 하나로 납작하게 펴기
직각이등변이므로 AD제곱은 옆모서리 제곱의 두 배입니다.
세 점은 언제나 한 평면 위에 있으므로 공간에 떠 있는 직각도 종이 한 장 위로 끌어내릴 수 있다.
세 점은 언제나 한 평면에 놓이므로, 공간에 떠 있던 직각을 한 장의 종이 위로 끌어내릴 수 있다.
▸ 왜?
그 종이 위에서 직각이 세 길이를 하나의 식으로 묶는다.
▸ 왜?
그림을 종이 위로 옮겨도 아무것도 늘어나지 않으므로, 모든 거리가 이전 그대로다.
높이와 반지름으로 옆모서리 만들기
옆모서리 제곱은 반지름 제곱 더하기 높이 제곱입니다.
옆모서리는 결국 높이와 중심-꼭짓점 거리를 두 변으로 갖는 직각삼각형의 빗변일 뿐이다.
8.G.B.7Identify SubproblemsA에서 D까지의 간격 세기
세 칸이므로 중심각이 135도입니다.
글자가 곧 도형의 정보이고, 변 세 개를 건너뛴 선분은 한 개나 네 개를 건너뛴 선분과 전혀 다른 길이다.
8.G.A.5Draw A Diagram팔각형을 좌표축 위에 올리기
좌표를 쓰면 1 더하기 루트 2의 절반이 등장합니다.
정사각형의 귀퉁이를 잘라내는 그림이 팔각형의 모든 꼭짓점을 정확한 좌표로 못 박는 가장 빠른 길이다.
10.G-GPE.B.4Introduce A Variable필요한 두 길이 읽어내기
AD와 외접반지름 제곱을 얻습니다.
팔각형 자신의 대칭에 맞춰 축을 고르면 필요한 두 길이가 계산 없이 굴러 나온다.
8.G.B.8Convert To Algebra높이의 제곱 구하기
정리하면 1 더하기 루트 2를 2로 나눈 값입니다.
팔각형의 두 길이만 알면 삼차원 문제 전체가 h²에 대한 일차방정식 하나로 줄어든다.
8.EE.C.7Convert To Algebra어떤 세 점이든 한 평면 위에 있으므로 공간에 떠 있는 직각도 삼각형 하나로 끌어내릴 수 있다. 그다음 조심할 것은 두 꼭짓점이 정확히 몇 칸 떨어져 있는지를 제대로 세는 일뿐이다.
- 직각을 삼각형 하나로 납작하게 펴기
- 높이와 반지름으로 옆모서리 만들기
- A에서 D까지의 간격 세기
- 팔각형을 좌표축 위에 올리기
- 필요한 두 길이 읽어내기
- 높이의 제곱 구하기