AMC 10 · 2025 · #11

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Point as the Answer

coordinate-geometryperpendicular-slopesslope-interceptsystems-of-equations identify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryslope-intercept

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

삼각형의 꼭짓점이 A(2, 31), B(8, 27), C(18, 27)이다. 이 삼각형의 수심은 세 수선(높이)이 모두 만나는 한 점이며, 각 수선은 한 꼭짓점을 지나 그 맞은편 변에 수직인 직선이다. 그 수심의 x좌표와 y좌표의 합을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

$10+4\sqrt{17} +2\sqrt{13}$

(D)

$\frac{113}{3}$

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

수심은 세 수선이 만나는 점이지만, 직선 두 개면 이미 한 점이 정해진다. 그래서 문제는 '수선 두 개를 구하고 교점을 찾는다'로 쪼갤 수 있다. 가장 쉬운 두 수선을 고르면 계산이 작아진다. 이 삼각형의 한 변이 수평이라서 수직 수선 하나가 공짜로 나오므로, 실제 계산이 필요한 수선은 하나뿐이고 그다음 두 직선을 교차시키면 된다.

1STEP 1

수평인 변으로 공짜 수선 얻기

BC는 수평(둘 다 y = 27)이라 A에서의 수선은 수직선, 즉 x = 2이다.

B_y = C_y = 27 → BC 수평 → A 에서의 수선: x = 2

2STEP 2

B에서의 수선 다루기

B의 수선은 AC에 수직이고, AC의 기울기는 $\frac{27-31}{18-2}$ = - $\frac{1}{4}$ 이다.

m_AC = (27 - 31)/(18 - 2) = -4/16 = -1/4

3STEP 3

수선을 방정식으로 바꾸기

- $\frac{1}{4}$ 에 수직이면 기울기 4. B(8, 27)을 지나 y - 27 = 4(x - 8), 즉 y = 4x - 5이다.

m_ ⊥ = -1/-1/4 = 4, y - 27 = 4(x - 8) → y = 4x - 5

4STEP 4

교차시키고 좌표 더하기

x = 2와 y = 4x - 5를 풀면 y = 3, 수심은 (2, 3). C에서의 수선도 확인해 주고 합은 2 + 3 = 5이다.

x = 2 ; y = 4x - 5 → (2, 3), 2 + 3 = 5

정답

세 수선이 모두 일치하도록 맞췄다. A에서의 x = 2, B에서의 y = 4x - 5, C에서의 y = (

\frac{3}{2}

)x가 모두 (2, 3)을 지나므로 수심은 일관적이다. 이 점은 삼각형(꼭짓점의 y값이 27, 31)의 바깥에 놓이는데, 삼각형이 둔각삼각형이고 둔각삼각형의 수심은 바깥에 있으므로 예상대로다. 합 5는 보기 (A)이며, 나머지 보기는 값이 다르거나(17,

\frac{113}{3}

, 54) 관계없는 근호를 달고 있어 5가 깔끔하고 정확한 답이다.

💡핵심 정리

수심은 수선 두 개만 있으면 찾을 수 있으니, 평평한 변에서 나오는 쉬운 수직 수선을 하나 챙기고 수직 기울기로 하나 더 만들어 교차시키면 된다.

수평인 변으로 공짜 수선 얻기
B에서의 수선 다루기
수선을 방정식으로 바꾸기
교차시키고 좌표 더하기

수평인 변으로 공짜 수선 얻기

B에서의 수선 다루기

수선을 방정식으로 바꾸기

교차시키고 좌표 더하기

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