AMC 10 · 2025 · #14

학년 10 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

ellipse-eccentricityarea-ellipsesimilar-figureslinear-equations-one-var identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: similar-figures

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

세 점 F, G, H가 한 직선 위에 있고 G가 F와 H 사이에 있습니다. 한 타원은 초점이 F와 G이고, 더 작은 두 번째 타원은 초점이 G와 H입니다. 두 번째 타원은 첫 번째 타원 안에 들어가 정확히 한 점에서 맞닿습니다. 두 타원은 같은 이심률 e를 가지며, 큰 타원의 넓이는 작은 타원의 2025배입니다. e를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac35$

(B)

$\frac{16}{25}$

(C)

$\frac45$

(D)

$\frac{22}{23}$

(E)

$\frac{44}{45}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제에서 숫자로 주어진 것은 넓이 비율뿐이므로, 첫 번째 할 일은 각 부분에 이름을 붙이는 것입니다. 각 타원마다 반장축과 초점까지의 거리를 이름 붙입니다. 이 네 길이에 이름이 생기면 주어진 두 사실이 서로 독립적인 두 조건으로 깔끔하게 나뉩니다. 넓이 비율은 두 타원의 크기 관계를 정하고, 내접과 일직선 조건은 두 축이 어떻게 정렬되는지를 정합니다. 두 조건 모두 같은 길이들로 이루어진 식이 되고, 이심률이 c를 a에 묶어 주므로 모든 것이 e에 대한 하나의 식으로 압축됩니다.

1STEP 1

축에 이름 붙이고 이심률을 같게 두기

각 타원을 a₁,c₁와 a₂,c₂로 두면 FG=2c₁, GH=2c₂이고, 같은 이심률이라 c₁=e a₁, c₂=e a₂.

e = c₁/a₁ = c₂/a₂ → c₁ = e a₁, c₂ = e a₂

2STEP 2

주어진 사실을 두 조건으로 나누기

반장축 a, 이심률 e인 타원의 넓이는 π a² √(1-e²). 넓이 비율과 맞닿음을 독립된 두 조건으로 나눕니다.

넓이 = π a² √(1 - e²)

3STEP 3

넓이 비율을 길이 비율로 바꾸기

같은 e라 √(1-e²)가 약분되어 넓이 비는 ( $\frac{a₁}{a₂}$ )²=2025, 따라서 $\frac{a₁}{a₂}$ =45.

넓이₁/넓이₂ = a₁²/a₂² = 2025 → a₁/a₂ = 45

4STEP 4

맞닿음을 꼭짓점의 정렬로 적기

F를 0에 두면 오른쪽 꼭짓점 c₁+a₁과 2c₁+c₂+a₂가 일치해야 하므로 a₁=c₁+c₂+a₂.

c₁ + a₁ = 2c₁ + c₂ + a₂ → a₁ = c₁ + c₂ + a₂

5STEP 5

c = e a를 대입해 e를 풀기

c₁=e a₁, c₂=e a₂를 대입하면 $\frac{1+e}{1-e}$ =45, 곧 46e=44에서 e= $\frac{22}{23}$ (D)입니다.

a₁(1-e) = a₂(1+e) → (1+e)/(1-e) = 45 → 46e = 44 → e = 22/23

정답

22/23

e =

\frac{22}{23}

를 두 조건에 대해 확인합니다. 그러면 1 - e =

\frac{1}{23}

, 1 + e =

\frac{45}{23}

이므로

\frac{1 + e}{1 - e}

= 45가 되어 길이 비

\frac{a₁}{a₂}

= 45와 일치합니다. 제곱하면 넓이 비가 45² = 2025로, 요구된 값과 정확히 같습니다. 또

\frac{22}{23}

은 0과 1 사이에 있어 정당한 타원 이심률이며, 1에 가까워 두 초점이 너비에 비해 멀리 떨어진 매우 길쭉한 타원과 잘 맞습니다. 모든 것이 일관됩니다.

💡핵심 정리

모든 길이에 이름을 붙이고 글자 하나가 모양을 담게 하면, 크기와 맞닿음이라는 서로 다른 두 사실이 풀 수 있는 하나의 식에서 만납니다.

축에 이름 붙이고 이심률을 같게 두기
주어진 사실을 두 조건으로 나누기
넓이 비율을 길이 비율로 바꾸기
맞닿음을 꼭짓점의 정렬로 적기
c = e a를 대입해 e를 풀기

축에 이름 붙이고 이심률을 같게 두기

주어진 사실을 두 조건으로 나누기

넓이 비율을 길이 비율로 바꾸기

맞닿음을 꼭짓점의 정렬로 적기

c = e a를 대입해 e를 풀기

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