AMC 10 · 2025 · #16
학년 10 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
이 문제는 삼각형의 B쪽에서 나오는 서로 다른 두 직선을 섞어 놓았으므로, 첫 걸음은 수선을 그리고 그 발을 AB 위의 점 D로 이름 붙이는 것입니다. 그러면 그림에서 P가 선분 CD 위에 놓인다는 것이 보이고, 하나의 어려운 길이가 작은 직각삼각형 문제들의 연쇄로 바뀝니다(작은 문제로 쪼개기): 먼저 D가 AB 위 어디에 놓이는지, 다음으로 수선 CD의 길이가 얼마인지, 그다음 P가 CD 위 어디에 있는지, 마지막으로 BP 자체입니다. 앞의 두 조각은 각각 미지수에 이름을 붙여 식으로 바꾸는 피타고라스 설정이고(변수 도입하기), 세 번째 조각은 작은 직각삼각형 BDC 안에 숨어 있는 각의 이등분선 정리입니다.
수선을 긋고 그 발에 이름 붙이기
C에서 AB에 내린 수선의 발을 D라 하면 CD ⊥ AB이고, P는 CD 위에 있으니 D와 CD를 확정하는 것이 관건입니다.
수선을 내리면 비스듬한 삼각형이 한 다리를 공유하는 두 개의 깔끔한 직각삼각형으로 바뀝니다.
8.G.B.7Draw A Diagram두 피타고라스 식을 빼기
두 피타고라스 식을 빼면 공유하는 CD²이 사라지고, AC² − BC² = (AD+BD)(AD−BD) = 80(AD−BD)만 남습니다.
빼기가 공유하는 다리를 없애고, 남은 제곱의 차는 이미 합을 아는 형태로 인수분해됩니다.
두 직각삼각형의 식을 빼면 공통된 변이 사라지고 두 제곱의 차가 남는다.
▸ 왜?
두 식이 똑같은 제곱 덩어리를 지니므로, 뺄셈이 그것을 통째로 없앤다.
▸ 왜?
각 식은 그 공통된 변 위의 직각삼각형에서 나오며, 그 덩어리는 거기서 온다.
BD 구하기
대입하면 AC² − BC² = 3600, AD − BD = 45; AD + BD = 80과 합쳐 AD = , BD = .
두 길이의 합과 차를 모두 알면 각각의 값이 정확히 결정됩니다.
8.EE.C.8Introduce A Variable수선 CD 구하기
다시 직각삼각형 CDB에서 CD² = BC² − BD² = 이고, 근이 깔끔합니다: CD = .
직각삼각형의 한 다리와 빗변을 알면 나머지 다리는 자동으로 정해집니다.
8.G.B.7Identify Subproblems각의 이등분선 정리로 CD 나누기
D가 A와 B 사이에 있어 각 DBC = 각 B이므로 이등분선이 DC를 = = 로 나눕니다: DP = .
이등분선은 각을 이루는 두 변의 비와 같은 비로 마주 보는 변을 자르며, 더 짧은 변 쪽으로 치우칩니다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems피타고라스로 BP 구하기
삼각형 BDP는 D에서 직각이라 BP² = BD² + DP² = + = 441, 즉 BP = 21입니다 — 보기 (D).
P는 수선 위에서 D 바로 위에 있으므로 BD와 DP가 직각삼각형의 두 다리이고 그 빗변이 바로 BP입니다.
8.G.B.7Introduce A Variable수선을 내려 삼각형을 두 직각삼각형으로 바꾸고, 그 발이 어디 떨어지는지 찾은 뒤, 각의 이등분선이 그 세로 다리를 각 B 양옆 두 변의 비로 나누게 하세요.
- 수선을 긋고 그 발에 이름 붙이기
- 두 피타고라스 식을 빼기
- BD 구하기
- 수선 CD 구하기
- 각의 이등분선 정리로 CD 나누기
- 피타고라스로 BP 구하기
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