AMC 10 · 2025 · #17
학년 11 algebrageometry-2d답을 골라 클릭하세요.
세 인수는 가운데 인수 z + 2i 를 중심으로 고르게 배치되어 있다. 이 대칭이 출발점 전부다. 새 변수 w = z + 2i 를 도입하면 가운데 인수는 그냥 w 가 되고 바깥 두 인수는 w - i 와 w + i, 즉 짝을 이루는 쌍이 된다. 이 곱은 제곱의 차로 접혀서 이차항이 사라지고, 인수분해하기 쉬운 민둥 삼차식 w³ + w + 10만 남는다. 그다음은 깔끔한 작은 문제들로 나뉜다: 나머지정리로 근 하나를 찾고, 나눠서 이차식을 얻고, 그것을 풀고(근은 복소수), 세 w-근을 찍어 넓이를 읽는다. z = w - 2i 는 모든 점을 아래로 곧게 내릴 뿐이므로 w-그림의 삼각형은 z-그림의 삼각형과 합동이고, 따라서 그 넓이가 답이다.
가운데 인수를 중심으로 재배치
이동량이 2i 를 중심으로 고르게 떨어져 있으니 w = z + 2i 로 두면 가운데 인수가 w, 바깥 짝은 w - i, w + i 가 된다.
대칭의 중심을 새 변수로 이름 붙이면 바깥 두 인수가 서로 거울상이 된다.
9.A-SSE.A.2Introduce A Variable짝을 이룬 쌍을 접기
켤레 쌍 (w - i)(w + i) = w² + 1을 곱하면 w(w² + 1) + 10 = w³ + w + 10, w² 항이 없다.
어떤 수에 그 켤레를 곱하면 허수부가 지워져서, i 가 얽힌 인수들이 순수한 실수 이차식으로 바뀐다.
어떤 수에 그 거울상을 곱하면 허수부가 지워져, 복소수 인수 둘이 실수 이차식 하나가 된다.
▸ 왜?
실수 다항식의 실수가 아닌 인수는 짝을 이룬 거울상으로 오므로, 언제나 그렇게 짝지을 수 있다.
▸ 왜?
합에 그와 짝이 되는 차를 곱하면 한 제곱에서 다른 제곱을 뺀 것이 되며, 그것이 허수 항을 지운다.
약수를 대입해 근 하나 찾기
10의 약수 ±1, ±2, ±5, ±10 중 w = -2 에서 -8 - 2 + 10 = 0이라 근이고 (w + 2)가 인수다.
유리근은 상수항의 약수로만 만들어지므로, 짧은 후보 목록이면 반드시 걸려든다.
11.A-APR.B.2Identify Subproblems찾은 인수를 나눠 내기
w³ + w + 10을 (w + 2)로 나누면 몫이 w² - 2w + 5 라 (w + 2)(w² - 2w + 5)로 완전히 인수분해된다.
이미 아는 일차인수를 벗겨내면 삼차식이 익숙한 공식으로 마무리할 수 있는 이차식으로 내려간다.
11.A-APR.D.6Identify Subproblems이차식 풀기 (복소근)
w² - 2w + 5 판별식 4 - 20 = -16이라 w = 1 ± 2i; 세 근은 -2, 1 + 2i, 1 - 2i 다.
판별식이 음수라는 것은 근이 실수 직선을 떠나 그 양옆에 놓인 켤레 쌍이 된다는 뜻이다.
11.N-CN.C.7Introduce A Variable근을 찍고 넓이 읽기
점 (-2,0), (1,2), (1,-2): 세로변 4, 높이 3이라 넓이 = ½·4·3 = 6; 평행이동은 넓이 보존, (A).
켤레 쌍이 세로변을 만들어 주므로, 멀리 있는 근이 그 변까지 가로로 떨어진 거리가 높이가 되고 넓이가 곧바로 나온다.
10.G-GPE.B.7Draw A Diagram인수들이 고르게 떨어져 있으면 가운데 것을 변수로 이름 붙여 바깥이 접히는 플러스마이너스 짝이 되게 하고, 근을 찍은 뒤 켤레 쌍이 세로변을 만들어 주도록 하라.
- 가운데 인수를 중심으로 재배치
- 짝을 이룬 쌍을 접기
- 약수를 대입해 근 하나 찾기
- 찾은 인수를 나눠 내기
- 이차식 풀기 (복소근)
- 근을 찍고 넓이 읽기