AMC 10 · 2025 · #24

학년 11 geometry-2d
유형 Similar-Triangle Length / Area Ratio └ 세부 유형 Synthetic Similar-Triangle Length or Area
tangent-circleslaw-of-cosinesnested-radical-denestingequal-spacing identify-subproblems ↑ 선수 지식: law-of-cosinestangent-circles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
반지름이 r인 중심 원을 반지름이 1인 원 12개가 둘러싸고 있다. 각 작은 원은 중심 원과 외접하고, 양옆의 이웃 원과도 접한다. r을 정수 a, b, c에 대해 (√(a) + √(b) + c) 꼴로 쓸 수 있을 때, a + b + c를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
3
(B)
5
(C)
7
(D)
9
(E)
11
풀이 과정
전략 그림 그리기

이 그림은 12중 대칭을 가지므로, 중심들을 그리고 그 대칭을 이용하면 원 전체 고리가 하나의 삼각형으로 줄어든다. 바로 중심점 O와 이웃한 두 작은 원의 중심이 이루는 삼각형이다. r을 미지수로 두면 이 삼각형은 두 변의 길이, 그 사이 끼인각, 마주 보는 변을 모두 알게 되는데, 이는 코사인 법칙이 필요로 하는 조건과 정확히 맞는다. 이렇게 얻은 방정식을 근호 계산으로 풀면 r이 나온다.

1STEP 1

중심 삼각형 하나를 떼어내기

O와 이웃한 두 중심 A₁, A₂에서 OA₁ = OA₂ = r+1, A₁A₂ = 2, 균등 배치로 ∠A₁OA₂ = 30°이다.

OA₁ = OA₂ = r+1, A₁A₂ = 2, ∠ A₁OA₂ = 360°/12 = 30°
2STEP 2

코사인 법칙 적용하기

삼각형 OA₁A₂에서 두 변 r+1이 30°를 끼고 대변이 2이므로, 코사인 법칙으로 4 = 2(r+1)²(1 - 32\frac{\sqrt{3}}{2})이다.

2² = 2(r+1)² - 2(r+1)²cos 30° = 2(r+1)²(1 - √(3)/2)
3STEP 3

(r+1)의 제곱 구하기

양변을 2(1 - 32\frac{\sqrt{3}}{2})로 나누면 (r+1)² = 42−3\frac{4}{2 - \sqrt{3}}, 유리화하면 (r+1)² = 8 + 4√(3)이다.

(r+1)² = 4/(2-√(3)) = (4(2+√(3)))/(2-√(3))(2+√(3)) = 8 + 4√(3)
4STEP 4

이중근호를 풀어 제곱근 구하기

√(8 + 4√(3)) = √(6) + √(2) (x+y=8, xy=12), 즉 r = √(6) + √(2) - 1이다.

√(8+4√(3)) = √(6) + √(2) → r = √(6) + √(2) - 1
5STEP 5

a, b, c 읽어내기

√(a) + √(b) + c와 비교하면 a = 6, b = 2, c = -1, 따라서 a + b + c = 7, 정답 (C).

a = 6, b = 2, c = -1 → a + b + c = 7
정답
7
수치로 보면 ((r+1)² = 8 + 4√(3) ≈ 14.93)이므로 (r + 1 ≈ 3.86), (r ≈ 2.86)이다. 이는 (√(6) + √(2) - 1 ≈ 2.449 + 1.414 - 1 = 2.863)과 일치하고, 그림의 (r ≈ 2.9)와도 바로 맞닿는다. 반지름이 2.9 근처인 것도 자연스럽다. 단위 원 12개가 겹치지 않고 둘러싸려면 꽤 큰 중심 원이 필요하기 때문이다.
💡핵심 정리

원들이 접하면 그 중심은 일정한 거리만큼 떨어져 있으므로, 원들의 고리는 코사인 법칙으로 풀 수 있는 삼각형 하나가 된다.

  • 중심 삼각형 하나를 떼어내기
  • 코사인 법칙 적용하기
  • (r+1)의 제곱 구하기
  • 이중근호를 풀어 제곱근 구하기
  • a, b, c 읽어내기

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