AMC 10 · 2025 · #5

학년 11 geometry-2dalgebra

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

중심이 같은 정사각형들이 겹겹이 놓여 있고, 각 정사각형의 변의 길이는 바로 바깥 정사각형의 k배이다(0 ＜ k ＜ 1). 이웃한 정사각형 사이의 고리 모양 영역이 번갈아 색칠되며, 가장 바깥 고리부터 색칠된다. 색칠된 부분의 넓이는 가장 바깥 정사각형 넓이의 64%이다. k를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 35$

(B)

$\frac {16}{25}$

(C)

$\frac 23$

(D)

$\frac 34$

(E)

$\frac 45$

풀이 과정

전략 패턴 찾기

그림은 k배로 줄이는 같은 단계를 끝없이 반복하므로, 색칠된 넓이는 정해진 규칙을 따르는 무한히 많은 조각의 합이다. 그 조각들의 패턴을 찾으면 전체 합이 하나의 등비급수로 모여 공식으로 더할 수 있고, 무한한 그림이 k에 대한 하나의 방정식으로 바뀐다.

1STEP 1

정규화하고 넓이 나열하기

비율만 중요하므로 바깥 변을 1로 둔다. 변은 1, k, k², k³, …, 제곱하면 넓이는 1, k², k⁴, k⁶, …

sides 1, k, k², k³, … → areas 1, k², k⁴, k⁶, …

2STEP 2

색칠된 고리 하나씩 쓰기

색칠된 고리는 한 정사각형에서 안쪽 것을 뺀 값. 짝수 고리가 (1 - k²), (k⁴ - k⁶), (k⁸ - k¹⁰), … 이다.

S = (1 - k²) + (k⁴ - k⁶) + (k⁸ - k¹⁰) + …

3STEP 3

등비급수 더하기

각 쌍은 공통인수 (1 - k²)을 가지며, 남는 1 + k⁴ + k⁸ + … 은 공비 k⁴인 등비급수로 $\frac{1}{1 - k⁴}$ 로 수렴한다.

S = (1 - k²)(1 + k⁴ + k⁸ + …) = (1 - k²)·1/(1 - k⁴)

4STEP 4

인수분해하고 약분하기

1 - k⁴ = (1 - k²)(1 + k²)이므로 (1 - k²)이 약분되어 S = $\frac{1}{1 + k²}$ 만 남는다.

S = (1 - k²)/(1 - k²)(1 + k²) = 1/(1 + k²)

5STEP 5

64% 조건 적용하여 풀기

64% = $\frac{16}{25}$ 이므로 $\frac{1}{1 + k²}$ = $\frac{16}{25}$ , 1 + k² = $\frac{25}{16}$ , k² = $\frac{9}{16}$ , k = $\frac{3}{4}$ (양의 근).

1/(1 + k²) = 16/25 → 1 + k² = 25/16 → k² = 9/16 → k = 3/4

정답

3/4

k =

\frac{3}{4}

를 거꾸로 확인하면 k² =

\frac{9}{16}

이므로 1 + k² =

\frac{25}{16}

이고 색칠된 비율은

\frac{1}{\frac{25}{16}}

\frac{16}{25}

= 64%로 주어진 값과 정확히 일치한다. 또한 0 ＜ k ＜ 1을 만족하므로 올바른 비율이다.

💡핵심 정리

그림이 같은 줄이기 단계를 끝없이 반복하면, 색칠된 조각들은 하나의 공식으로 더할 수 있는 등비급수를 이루어 그림 전체가 하나의 방정식으로 바뀐다.

정규화하고 넓이 나열하기
색칠된 고리 하나씩 쓰기
등비급수 더하기
인수분해하고 약분하기
64% 조건 적용하여 풀기

정규화하고 넓이 나열하기

색칠된 고리 하나씩 쓰기

등비급수 더하기

인수분해하고 약분하기

64% 조건 적용하여 풀기

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