AMC 10 · 2025 · #8

학년 11 geometry-2d

inscribed-anglecyclic-quadrilaterallaw-of-cosinesangle-bisector-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: inscribed-anglelaw-of-cosines

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

오각형 ABCDE의 다섯 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있다. 꼭짓점 E에서의 두 각 angle BEC와 angle CED가 각각 30도로 주어진다. 직선 AC와 직선 BD가 점 F에서 만난다. AB = 9, AD = 24일 때 선분 BF의 길이를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{57}{11}$

(B)

$\frac{59}{11}$

(C)

$\frac{60}{11}$

(D)

$\frac{61}{11}$

(E)

$\frac{63}{11}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

원과 삼각형이 얽힌 문제이므로 정확한 그림이 출발점이다. 주어진 30도 각을 표시하고 그것이 다른 곳에 무엇을 강제하는지 살펴본다. 그림을 보면 필요한 모든 것이 삼각형 ABD 안에 들어 있으므로, 작업을 세 조각으로 나눈다(작은 문제로 쪼개기): 먼저 원주각 성질로 주어진 각을 꼭짓점 A로 옮기고, 다음으로 변 BD를 구하고, 마지막으로 AC가 BD와 만나는 위치를 이용한다. 가운데 조각 — 두 변과 낀각으로 BD를 구하는 것 — 은 순수 계산이므로 코사인 법칙으로 대수화한다.

1STEP 1

주어진 각을 꼭짓점 A로 옮기기

같은 호를 바라보는 원주각은 같으므로 E의 30도 각이 A로 복사된다: angle BAC = angle CAD = 30도.

∠ BAC = ∠ BEC = 30°, ∠ CAD = ∠ CED = 30°

2STEP 2

AC가 angle BAD를 이등분함을 확인하기

두 30도 반쪽을 더하면 angle BAD = 60도이고 AC가 이를 이등분한다 — 즉 F는 그 이등분선이 변 BD와 만나는 점이다.

∠ BAD = ∠ BAC + ∠ CAD = 30° + 30° = 60°

3STEP 3

코사인 법칙으로 BD 구하기

삼각형 ABD에서 두 변 9, 24와 낀각 60도로 코사인 법칙을 쓰면 81 + 576 - 216 = 441이므로 BD = 21.

BD² = 9² + 24² - 2(9)(24)cos 60° = 81 + 576 - 216 = 441, BD = 21

4STEP 4

각의 이등분선 정리로 BD 나누기

AC가 angle BAD를 이등분하므로 각의 이등분선 정리로 BD를 변의 비로 나눈다: $\frac{BF}{FD}$ = $\frac{AB}{AD}$ = $\frac{9}{24}$ = $\frac{3}{8}$ .

BF/FD = AB/AD = 9/24 = 3/8

5STEP 5

BF 구하기

BF와 FD가 BD = 21을 3 대 8, 즉 11등분으로 나누므로 BF는 그중 3부분이다: BF = $\frac{63}{11}$ — 보기 (E).

BF = 3/(3+8) · BD = 3/11 · 21 = 63/11

정답

63/11

나눈 값 확인: FD = 21 -

\frac{63}{11}

\frac{231 - 63}{11}

\frac{168}{11}

이므로

\frac{BF}{FD}

\frac{63}{168}

\frac{3}{8}

이고, 이는 정확히

\frac{9}{24}

이다. 비가 성립한다. BF =

\frac{63}{11}

은 약 5.7로 BD = 21의 절반보다 훨씬 작은데, 이는 타당하다 — 짧은 변 AB(9) 쪽으로 이등분선이 더 가까이 내려앉기 때문이다. 모든 것이 보기 (E)와 일관된다.

💡핵심 정리

같은 크기의 원주각이 직선 AC를 각의 이등분선으로 만들어 주므로, 삼각형의 세 번째 변만 알면 이웃한 두 변의 비로 그것을 나누기만 하면 된다.

주어진 각을 꼭짓점 A로 옮기기
AC가 angle BAD를 이등분함을 확인하기
코사인 법칙으로 BD 구하기
각의 이등분선 정리로 BD 나누기
BF 구하기

주어진 각을 꼭짓점 A로 옮기기

AC가 angle BAD를 이등분함을 확인하기

코사인 법칙으로 BD 구하기

각의 이등분선 정리로 BD 나누기

BF 구하기

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