AMC 10 · 2025 · #9

학년 11 algebra

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Line Intersection Point as the Answer

complex-numberscoordinate-geometryslope-intercept convert-to-algebra ↑ 선수 지식: complex-numbers

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

복소수 w = 2 + i 와 그 제곱 w²은 복소평면 위의 고정된 두 점이다. 실수 r 은 실수축 위에 놓인다. 세 점 r, w, w²이 한 직선 위에 놓이도록 하는 r 의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac34$

(B)

(C)

$\frac75$

(D)

$\frac32$

(E)

$\frac53$

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

'공선'은 기하 용어지만, 각 복소수는 결국 점 (a, b) 이므로 기하를 대수로 바꿀 수 있다. 먼저 알려진 두 점 w 와 w²을 좌표로 고정하고, 그 두 점을 지나는 직선의 방정식을 쓴 뒤, 그 직선이 실수축과 만나는 곳을 읽어내면 된다. 점을 그려 보면(그림 그리기) 설정이 어긋나지 않고, '제곱하기', '직선 찾기', '만나는 점 찾기'로 나누면(작은 문제로 쪼개기) 각 단계가 작아진다.

1STEP 1

w 를 제곱하기

w = 2 + i 를 제곱하고 i² = -1을 이용해 두 번째 점 w² = 3 + 4i 을 얻는다.

w² = (2+i)² = 4 + 4i + i² = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i

2STEP 2

알려진 두 점 찍기

a + bi 를 점 (a, b)로 읽으면 w 는 (2, 1), w²은 (3, 4), 실수 r 은 가로축 위의 (r, 0)이다.

w ⇔ (2, 1), w² ⇔ (3, 4), r ⇔ (r, 0)

3STEP 3

w 와 w²을 지나는 직선 찾기

두 점이 직선을 정한다. (2, 1) 에서 (3, 4)까지 기울기는 3이고 직선은 y = 3x - 5 이다.

m = (4-1)/(3-2) = 3 → y - 1 = 3(x - 2) → y = 3x - 5

4STEP 4

직선이 실수축과 만나는 곳 찾기

직선에 y = 0을 넣고 x 를 구하면 실수축과 만나는 곳은 r = $\frac{5}{3}$ 이고, 이는 보기 (E)이다.

0 = 3x - 5 → x = 5/3 → r = 5/3

정답

5/3

대입해 확인하면 x =

\frac{5}{3}

일 때 y = 3(

\frac{5}{3}

) - 5 = 5 - 5 = 0 이므로 (

\frac{5}{3}

, 0)은 정말로 직선 y = 3x - 5 위에 있다. 세 점 (

\frac{5}{3}

, 0), (2, 1), (3, 4)은 오른쪽으로 1 갈 때마다 위로 3 올라가므로 모두 기울기 3을 공유하며 실제로 공선이다. 값

\frac{5}{3}

은 2 보다 조금 작은데, 직선이 오른쪽 위로 올라가므로 축과 만나는 곳은 w = (2, 1) 보다 왼쪽이어야 한다는 점과 잘 맞는다. 이는 보기 (E)와 일치한다.

💡핵심 정리

모든 복소수는 격자 위의 점 하나일 뿐이므로, '공선'은 두 점을 지나는 직선을 찾아 그 직선이 실수축과 만나는 곳을 보는 것이다.

w 를 제곱하기
알려진 두 점 찍기
w 와 w²을 지나는 직선 찾기
직선이 실수축과 만나는 곳 찾기

w 를 제곱하기

알려진 두 점 찍기

w 와 w²을 지나는 직선 찾기

직선이 실수축과 만나는 곳 찾기

비슷한 유형 더 풀어보기