AMC 10 · 2025 · #13

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

combinations-basiccaseworksymmetry-argument casework ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

원을 크기가 서로 다른 부채꼴 6개로 잘라 고리처럼 늘어놓습니다. 빨강, 초록, 파랑 세 색을 쓰되 각 색이 정확히 두 부채꼴을 칠합니다. 맞닿은 두 부채꼴은 같은 색일 수 없습니다. 이 규칙을 지키는 칠하기가 몇 가지인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

'몇 가지인가'를 묻는 세는 문제이므로 빠짐없이 나열하기가 핵심 도구다. 나열을 짧게 만들기 위해 먼저 고리를 그려 자리에 번호를 붙이고, 한 부채꼴의 색을 고정한 더 쉬운 문제를 푼 뒤 마지막에 곱해 준다. 남은 개수는 같은 색의 두 번째 부채꼴이 어디에 놓이는지에 따라 몇 개의 깔끔한 경우로 나뉜다.

1STEP 1

고리의 자리에 번호 붙이기

자리에 번호를 붙여 이웃 관계를 적습니다.

이웃: 1 - 2, 2 - 3, 3 - 4, 4 - 5, 5 - 6, 6 - 1

2STEP 2

1번을 고정하고 나중에 3을 곱하기

1번을 고정하고 나중에 3배합니다.

전체 = 3 × (1번 = 빨강인 색칠 수)

3STEP 3

두 번째 빨강은 어디에 올 수 있나

두 번째 빨강은 3, 4, 5번만 가능합니다.

두 번째 빨강 ∈ {3, 4, 5}

4STEP 4

각 경우를 나열하여 세기

경우를 나열하면 모두 8가지입니다.

2 + 4 + 2 = 8

5STEP 5

모든 첫 색에 대해 3 곱하기

3을 곱하면 24입니다.

8 × 3 = 24

정답

대략적인 상한이 도움이 된다. 자리를 순서대로 채우면 첫 자리는 3가지, 이웃마다 대략 2가지여서 24보다 훨씬 많지만, 각 색을 정확히 두 번만 쓰는 규칙과 맞닿음 금지 규칙이 이를 크게 깎아 내므로 24는 믿을 만한 범위에 있다. 두 번째 확인: 세 경우의 값 2, 4, 2가 앞뒤로 대칭(경우 A가 경우 C를 거울처럼 반영)인데, 이는 대칭인 고리에서 기대되는 결과이며 모든 경우가 실제로 초록 2개와 파랑 2개를 썼다. 또한 24는 6 x 4와 같아, 3! = 6가지 색 순서에 4가지 구조 무늬를 곱하는 다른 셈과도 맞아떨어진다.

💡핵심 정리

한 색을 자리에 못 박고 나머지가 들어갈 몇 안 되는 방법을 센 뒤, 빼 두었던 색만큼 다시 곱한다.

고리의 자리에 번호 붙이기
1번을 고정하고 나중에 3을 곱하기
두 번째 빨강은 어디에 올 수 있나
각 경우를 나열하여 세기
모든 첫 색에 대해 3 곱하기

고리의 자리에 번호 붙이기

1번을 고정하고 나중에 3을 곱하기

두 번째 빨강은 어디에 올 수 있나

각 경우를 나열하여 세기

모든 첫 색에 대해 3 곱하기

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