AMC 10 · 2025 · #2
학년 5 number-theory units-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10perfect-squares pattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
처음 2025개의 완전제곱수 1의 제곱, 2의 제곱, 3의 제곱, 하고 2025의 제곱 각각에서 일의 자리 숫자만 취합니다. 그 2025개 숫자를 모두 더한 값을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
9025
(B)
9070
(C)
9090
(D)
9115
(E)
9160
풀이 과정
전략 패턴 찾기
2025 개의 일의 자리 숫자를 손으로 하나하나 더하는 것은 불가능하므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심입니다: n²의 일의 자리는 n 의 일의 자리로 정해지므로 일의 자리 숫자 목록은 10 개씩 블록으로 반복됩니다. 반복 블록을 알아내면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 개수 2025를 온전한 블록들과 짧은 나머지로 나눠, 거대한 합을 작은 곱셈 하나와 짧은 덧셈으로 바꿉니다.
1STEP 1
반복되는 10개 블록 찾기
일의 자리가 10개마다 되풀이됩니다.
1²→1, 2²→4, 3²→9, 4²→6, 5²→5, 6²→6, 7²→9, 8²→4, 9²→1, 10²→0
수의 마지막 자리만 그 제곱의 마지막 자리에 영향을 주므로, 끝자리는 반드시 순환합니다.
어떤 수의 끝자리만이 그 제곱의 끝자리에 영향을 주므로, 끝자리가 되풀이될 수밖에 없다.
▸ 왜?
일의 자리 위는 모두 10의 묶음이며, 10의 묶음은 결코 끝자리에 닿지 않는다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
▸ 왜?
가능한 끝자리가 열 가지뿐이므로, 무늬가 처음으로 돌아와 영원히 되풀이된다.
주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
2STEP 2
블록 하나 더하기
블록 하나의 합은 45입니다.
1+4+9+6+5+6+9+4+1+0 = 45
덩어리가 반복되면 덩어리 하나의 합만 알면 됩니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems3STEP 3
2025개 항에 든 온전한 블록 수 세기
2025는 블록 202개에 다섯 항이 남습니다.
2025 = 202×10 + 5
일의 자리 왼쪽 숫자 202가 2025 안에 온전한 십이 몇 개 들어가는지 알려 줍니다.
5.NBT.B.6Identify Subproblems4STEP 4
온전한 블록들의 합
온전한 블록에서 9090이 나옵니다.
202×45 = 9000+90 = 9090
블록 합에 블록 개수를 곱하면 모든 반복을 한 번에 처리합니다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems5STEP 5
남은 다섯 항 더하기
남은 다섯 항 25를 더해 9115입니다.
9090 + (1+4+9+6+5) = 9090 + 25 = 9115 → (D)
남은 항들은 같은 블록을 다시 시작하는 것이므로, 그 일의 자리는 블록의 앞부분 숫자들입니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems정답
9115
대략 어림해도 크기가 맞습니다: 일의 자리의 평균은 45/10=4.5이고 4.5×2025≈9112로 9115 바로 옆입니다. 또한 총합은 반드시 5로 끝납니다: 202×45는 0으로 끝나고 남은 25는 5로 끝나므로 합은 5로 끝나 (D) 9115와 맞고 (B)·(C)·(E)는 지워집니다. 선택지 (C) 9090은 마지막 5 개 항을 빠뜨려야만 나오고, (A) 9025는 블록 수를 잘못 세어 나오므로 (D)가 일관된 결과입니다.
💡핵심 정리
제곱수의 일의 자리는 열 개마다 반복되므로, 온전한 블록 수를 세어 블록 하나의 합에 곱한 뒤 남는 몇 개만 더하면 됩니다.
- 반복되는 10개 블록 찾기
- 블록 하나 더하기
- 2025개 항에 든 온전한 블록 수 세기
- 온전한 블록들의 합
- 남은 다섯 항 더하기