AMC 10 · 2025 · #22
학년 11 algebrageometry-2d답을 골라 클릭하세요.
문제가 "가장 클 때"를 묻고 있으므로 마무리는 도구 #14(극단의 원리)의 몫입니다. 넓이를 |z| 하나만의 증가함수로 써 두면, 이기는 것은 원점에서 가장 멀리 떨어진 허용 z이고, 원 위에서 그 점은 바로 지목할 수 있습니다. 그 깔끔한 형태까지 가는 길은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)입니다. 공통인수 z가 문제를 "삼각형의 모양은 무엇인가"와 "|z|는 얼마나 큰가"로 가르고, 이 둘은 서로 간섭하지 않습니다. 모양 쪽은 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 처리합니다. z를 아예 버리고 고정된 삼각형 2, 1+i, 1-i만 재면 되는데, 이는 점 세 개를 찍는 일에 불과합니다. 도구 #1(그림 그리기)이 그 측정을 밑변 곱하기 높이 한 줄로 만듭니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 조건을 맡습니다. |4z-2|=1은 중심과 반지름 꼴로 다시 정리하기 전까지는 아무 정보도 주지 않습니다.
공통인수 z를 뽑아내기
세 점에서 공통인수 z를 뽑아냅니다.
똑같은 z가 세 꼭짓점 모두에 곱해지므로 모양은 바꿀 수 없고, 모든 길이를 같은 배율 |z|로 늘이는 일만 할 수 있습니다.
11.N-CN.A.3Identify Subproblems넓이는 |z|의 제곱배로 커진다
넓이는 z 절댓값의 제곱배가 됩니다.
넓이는 길이 곱하기 길이이므로, 모든 길이를 |z|배 하면 넓이에는 |z|가 두 번 곱해집니다.
넓이는 길이 곱하기 길이이므로, 모든 길이를 어떤 배율로 늘리면 넓이에는 그 배율이 두 번 곱해진다.
▸ 왜?
넓이는 두 방향에 동시에 걸쳐 있으므로, 방향마다 한 번씩 배율을 받는다.
▸ 왜?
하나의 공통 인수가 모든 길이를 함께 늘리므로, 모양은 그대로이고 크기만 달라진다.
고정된 삼각형 재기
고정된 삼각형의 넓이는 1입니다.
세 점 중 둘이 x좌표를 공유하므로 밑변은 수직으로 그냥 주어지고, 높이는 가로 간격일 뿐입니다.
10.G-GPE.B.7Draw A Diagram조건을 원으로 읽기
조건은 중심 2분의 1, 반지름 4분의 1인 원입니다.
차의 절댓값은 거리이므로, |z-c|=r 꼴의 식은 모습을 감춘 원입니다.
10.G-GPE.A.1Organize Information In More Waysz를 원의 먼 쪽으로 밀기
가장 먼 점에서 절댓값이 4분의 3이라 답은 16분의 9입니다.
원점에서 최대한 멀어지려면 먼저 중심까지 간 다음, 같은 방향으로 반지름만큼 한 번 더 걸어가면 됩니다.
10.G-GPE.B.4Extreme Principle복소수 하나가 모든 꼭짓점에 곱해지면 모양은 그대로이고 크기만 바뀝니다. 그래서 넓이는 고정된 수에 |z|²을 곱한 것이고, 남은 일은 원 위에서 원점에 가장 먼 점을 찾는 것뿐입니다.
- 공통인수 z를 뽑아내기
- 넓이는 |z|의 제곱배로 커진다
- 고정된 삼각형 재기
- 조건을 원으로 읽기
- z를 원의 먼 쪽으로 밀기