AMC 10 · 2025 · #25
학년 11 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
중심각 세 개가 모두 미지수라 좌표로 밀어붙이면 계산이 지저분해진다. 그래서 도구 #17(공간 상상하기)이 풀이를 이끈다. 정삼각형은 한 꼭짓점을 중심으로 60° 돌렸을 때 자기 자신으로 겹쳐지는 도형이므로, 평면 전체를 한 꼭짓점 둘레로 60° 돌린 뒤 중심 O가 어디로 가는지 쫓아가면 된다. 도구 #1(그림 그리기)로 반지름 세 개와 같은 변 세 개가 한눈에 보이도록 그림을 세운다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 반지름을 1, 2, 3이라는 따로 노는 수가 아니라 1+2=3이라는 관계로 다시 읽게 해 준다. 이는 길이 1짜리 조각과 길이 2짜리 조각이 길이 3인 반지름 위에 일직선으로 놓이게 된다는 신호다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 전체 그림을 작은 삼각형 하나로 줄이고, 도구 #14(극단의 원리)가 마지막 자물쇠를 채운다. 1+2=3은 삼각부등식의 등호 성립 경우이고, 등호는 세 점이 한 직선 위에 있음을 강제하여 필요한 각을 내어 준다.
그림을 그리고 이름 붙이기
그림을 그리고 세 반지름에 이름을 붙입니다.
동심원은 중심으로부터의 거리만 고정하므로, 어려움은 전부 O에서의 세 각에 몰려 있다.
10.G-CO.A.1Draw A Diagram반지름을 1+2=3으로 다시 읽기
반지름이 1 더하기 2는 3입니다.
1만큼 갔다가 2만큼 더 가서 거리 3을 채웠다면 굽어질 틈이 없으니 직선이다.
10.G-CO.C.10Organize Information In More WaysA를 중심으로 평면을 60° 돌리기
한 꼭짓점 둘레로 평면을 60도 돌립니다.
꼭짓점 둘레의 60° 회전은 정삼각형이 가만히 서 있는 것과 구별하지 못하는 유일한 움직임이다.
10.G-SRT.B.5Visualize Spatial Relationships새로 생긴 두 길이 재기
새 길이는 1과 2가 됩니다.
꼭지각이 60°인 이등변삼각형은 정삼각형이 될 수밖에 없다.
10.G-SRT.B.5Identify Subproblems등호가 O'을 OC 위로 밀어 넣기
합이 3과 같아 새 점이 선분 위에 놓입니다.
삼각부등식은 돌아가는 길이 조금이라도 있으면 부등호가 엄격하므로, 등호에 닿았다는 것은 점이 선분 위에 못 박혔다는 뜻이다.
돌아가는 길에 대한 규칙은 아예 돌아가지 않을 때만 등호가 되므로, 그 한계에 닿으면 점이 선분 위에 고정된다.
▸ 왜?
세 점이 한 직선 위에 있지 않은 한, 어느 두 변의 합도 나머지 변보다 길다.
▸ 왜?
따라서 등호는 그 부등식이 허락하는 유일한 극단에서만 일어나며, 남는 여지가 없다.
120° 각을 읽어 내기
거기서 각이 120도임을 읽습니다.
한 변을 공유하며 직선의 양쪽에 놓인 두 각은 언제나 합이 180°이다.
10.G-CO.C.9Draw A Diagram코사인 법칙으로 마무리하기
코사인법칙으로 7입니다.
두 변과 그 사이에 낀 각이 나머지 한 변을 결정하며, 각이 둔각이면 그 변은 피타고라스가 주는 길이보다 길어진다.
11.G-SRT.D.11Identify Subproblems반지름이 1+2=3을 만족하기 때문에 한 꼭짓점 둘레로 60° 돌리면 중심의 상이 가장 긴 반지름 위에 정확히 떨어지고, 문제 전체는 두 변 1과 2가 120°로 만나는 삼각형 하나로 줄어들어 s²=7이 된다.
- 그림을 그리고 이름 붙이기
- 반지름을 1+2=3으로 다시 읽기
- A를 중심으로 평면을 60° 돌리기
- 새로 생긴 두 길이 재기
- 등호가 O'을 OC 위로 밀어 넣기
- 120° 각을 읽어 내기
- 코사인 법칙으로 마무리하기
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