AMC 8 · 1999 · #15

학년 5 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

permutations-basicsystematic-enumerationmulti-digit-arithmetic caseworkoptimization-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basicmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

플랫빌의 자전거 번호판은 세 글자입니다. 첫 글자는 5 개짜리 집합, 둘째 글자는 3 개짜리 집합, 셋째 글자는 4 개짜리 집합에서 고릅니다. 새 글자 2 개를 추가하는데(둘 다 한 집합에 넣거나, 두 집합에 한 개씩 넣음), 이때 만들 수 있는 ADDITIONAL(추가) 번호판 수의 최댓값은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

글자 2 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 그리 많지 않으니, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 훑으면 빠뜨릴 일이 없어요. 한 집합에 둘 다 넣는 경우 3 가지, 서로 다른 두 집합에 한 개씩 넣는 경우 3 가지 — 합쳐서 정확히 6 가지입니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 경우의 새 곱을 계산해 가장 큰 값을 고르면 됩니다. 경우 수가 작아 굳이 대수를 끌어들이지 않아도 되니 풀이가 가벼워집니다.

1STEP 1

세 집합 크기를 곱하면 60 개, 마지막에 뺄 기준선입니다.

5 × 3 × 4 = 60 개

2STEP 2

새 글자 2 개를 나누는 경우를 다 적어요: 한 집합에 둘(3 가지) 또는 두 집합에 하나씩(3 가지) = 6 가지.

경우들: (7,3,4), (5,5,4), (5,3,6), (6,4,4), (6,3,5), (5,4,5)

3STEP 3

각 경우마다 새 집합 크기 세 개를 곱해 새 번호판 총 개수를 구합니다.

7×3×4=84, 5×5×4=100, 5×3×6=90, 6×4×4=96, 6×3×5=90, 5×4×5=100

4STEP 4

새 총 개수의 최댓값은 100(5×5×4)이고, 원래 60 을 빼면 추가된 번호판 수가 나옵니다.

100 - 60 = 40 → (D)

정답

최댓값을 낸 두 경우의 합부터 확인합시다: 5+5+4=14, 5+4+5=14 로 모두 5+3+4+2=14 와 맞습니다. 두 경우 모두 세 수가 가장 비슷하게 균형 잡힌 형태인데, "합이 일정할 때 곱이 가장 커지는 것은 수들이 가장 균등할 때"라는 잘 알려진 규칙과 일치합니다. 다른 경우들은 한 집합이 유난히 크거나 작아서 곱이 작아집니다. 또한 40 은 선택지에 있고, 더 큰 선택지 60 이 정답이려면 새 총 개수가 120 이어야 하는데 합 14 짜리 어떤 경우도 그 값을 낼 수 없습니다(5·5·4=100 이 한계). 따라서 (D) 만이 일관된 답입니다.

💡핵심 정리

새 글자 2 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 단 6 가지뿐 — 모두 적어 곱해 보면 최댓값은 5 × 5 × 4 = 100, 원래 60 보다 40 개 더 많습니다.

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