AMC 8 · 2003 · #15

학년 5 geometry-3d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

spatial-visualizationpolyhedron-netssystematic-enumeration physical-representationcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

단위 정육면체를 쌓아 3D 도형을 만듭니다. 모든 정육면체는 다른 정육면체와 한 면 전체를 맞대고 있어야 해요. 정면에서 본 모습은 L자 모양(2 칸이 왼쪽에 위아래로 쌓이고, 그 아래 칸 오른쪽에 1 칸이 더 붙은 형태)이고, 옆에서 본 모습은 그 거울상 L자 모양입니다. 이 두 모습이 모두 나오도록 만들려면 정육면체가 최소 몇 개 필요할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 직접 만져보기

문제는 2D 두 뷰를 주고 3D 도형을 구성하라고 합니다 — 도구 #10(직접 만져보기)의 전형적인 신호죠. 실제 또는 머릿속의 단위 정육면체를 격자에 올려놓으며 두 "그림자"가 모두 맞을 때까지 맞춰 봅니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 한 정육면체가 두 뷰에 동시에 쓰이도록 한 축 방향으로 정렬해 개수를 줄이는 데 도움이 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 안전망입니다. 최소 후보 3 부터 확인합니다 — 정면 뷰에 칸이 3 개 있으니 3 개로 가능한지 묻고, 연결 조건에서 막히면 답이 4 로 굳어집니다.

1STEP 1

축을 잡아 뷰를 투영으로: 정면 뷰는 y축을 눌러 (x,z), 측면 뷰는 x축을 눌러 (y,z)로 보입니다.

정면: (x,z) 측면: (y,z)

2STEP 2

두 뷰를 격자 칸으로 해독: 정면 L자는 (0,0),(0,1),(1,0), 측면 L자는 (0,0),(1,0),(1,1)을 채웁니다.

정면 켜진 칸: {(0,0),(0,1),(1,0)}, 측면 켜진 칸: {(0,0),(1,0),(1,1)}

3STEP 3

뷰 방향으로 정렬: (0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)의 4개가 정면·측면 L자로 투영되고 모두 면을 맞댑니다.

정육면체: {(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)} → 정면 L+측면 L, #=4

4STEP 4

3개로는? 꼭대기를 공유하면 두 바닥이 x·y 모두 달라 한쪽이 공중에 떠 면을 못 맞댑니다 — 연결 조건 위배.

3 개 → 면을 못 맞대는 정육면체 발생 → 규칙 위배

5STEP 5

4개 구성은 되고 3개는 안 되므로 최소는 4개입니다.

#_min = 4 → (B)

정답

수치 감각으로 점검합니다. 각 뷰가 3 칸이므로 단순한 하한은 3 개. 연결 조건이 1 개를 더 요구하므로 "3 + 1 = 4" 형태의 답이 자연스럽고, 그게 (B)입니다. {(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)} 의 4 개 구성은 모든 정육면체가 다른 정육면체와 한 면을 맞대고 있고 두 뷰 모두 L자로 투영되므로 4 개는 실제로 달성됩니다. (C)5, (D)6, (E)7 은 최소가 아니므로 제외되고, (A)3 은 연결 논증으로 제외됩니다.

💡핵심 정리

두 개의 납작한 뷰, 하나의 3D 답: 뷰가 누르는 축 방향으로 정육면체를 정렬해 겹치고, "공중에 뜨지 않게" 한 개를 더 — 5학년 좌표 사고로 이 AMC 8 문제는 4 개로 풀립니다.

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