AMC 8 · 2001 · #25

학년 5 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

divisibility-rulesmulti-digit-arithmeticdigit-constraintssystematic-enumeration systematic-enumerationdigit-constraintsguess-and-check ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

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문제

숫자 2, 4, 5, 7 을 각각 한 번씩 써서 만들 수 있는 네 자리 수는 24 개입니다. 이 24 개 중 정확히 하나가 같은 목록의 다른 어떤 수의 배수입니다. 다섯 개의 선택지 중에서 그 특별한 수를 찾으세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

5724

(B)

7245

(C)

7254

(D)

7425

(E)

7542

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

후보가 다섯 개뿐이라서 도구 #3 (가능성 지우기) 이 가장 자연스럽습니다. 각 후보를 작은 정수로 나눈 몫이 다시 {2, 4, 5, 7} 의 순열인지만 확인하면 됩니다. 도구 #5 (패턴 찾기) 가 "어떤 정수로 나눠 봐야 하는가" 를 좁혀 줍니다 — 모든 순열의 자릿수 합은 2+4+5+7 = 18 이므로 모두 9 의 배수이고, 가장 작은 순열이 2457, 가장 큰 순열이 7542 이므로 배수 비율 k = N/d 는 2 아니면 3 뿐입니다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 최대 열 번 정도의 나눗셈 점검을 깔끔히 정리합니다. 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 갈 필요는 없습니다 — 풀이는 그저 나눗셈 검사니까요.

1STEP 1

모든 순열이 [2457, 7542] 안이라 k = N/d ＜ 4; k ≠ 1 이니 k = 2 또는 k = 3 만 가능.

k = N/d ≤

\frac{7542}{2457}

＜ 4 → k ∈ {2, 3}

2STEP 2

(A) 5724 점검: 5724 ÷ 2 = 2862, 5724 ÷ 3 = 1908 모두 금지된 숫자 포함 → 제거.

5724 ÷ 2 = 2862 (8, 6 이 들어 있어 불가); 5724 ÷ 3 = 1908 (1, 9, 0, 8 로 불가). (A) 제거.

3STEP 3

(B) 7245 점검: 홀수라 ÷ 2 탈락, 7245 ÷ 3 = 2415 는 1 이 껴서 제거.

7245 ÷ 3 = 2415 (숫자 2, 4, 1, 5 에 1 이 끼어 불가). (B) 제거.

4STEP 4

7254 ÷ 2 = 3627 (3, 6 으로 불가); 7254 ÷ 3 = 2418 (1, 8 로 불가). (C) 제거.

5STEP 5

(D) 7425 점검: 홀수이고 7425 ÷ 3 = 2475 는 다시 2, 4, 5, 7 의 순열 — 보존.

7425 ÷ 3 = 2475. 2475 의 자릿수는 {2, 4, 7, 5} — 원래 집합의 순열입니다. (D) 보존.

6STEP 6

(E) 7542 점검: 7542 ÷ 2 = 3771, 7542 ÷ 3 = 2514 각각 금지 숫자 포함 → 제거.

7542 ÷ 2 = 3771 (3, 1 로 불가); 7542 ÷ 3 = 2514 (1 이 끼어 불가). (E) 제거.

7STEP 7

(D) 만 통과: 7425 = 3 × 2475, 다른 순열의 배수가 되는 유일한 수.

7425 = 3 × 2475 → (D)

정답

7425

남은 짝을 직접 확인합니다. 3 × 2475 = 3 × 2000 + 3 × 475 = 6000 + 1425 = 7425. 2475 의 자릿수는 2, 4, 7, 5 — 요구된 집합을 정확히 한 번씩 쓰고 있고, 24 개 순열 중 하나입니다. 또 두 수 모두 자릿수 합이 18 이라 9 의 배수이며, 한쪽이 다른 쪽의 3 배라는 사실과 모순되지 않습니다. 다른 네 선택지에서는 어떤 나눗셈도 순열을 만들지 못했으니, "24 개 중 정확히 하나가 다른 수의 배수" 라는 문제의 조건도 그대로 맞습니다 — 그 하나가 7425.

💡핵심 정리

{2, 4, 5, 7} 의 모든 순열은 2457 과 7542 사이에 있어서 한 수는 다른 수의 3 배까지밖에 될 수 없어요. 다섯 선택지에 ÷ 2 와 ÷ 3 을 해 보면, 몫이 다시 순열로 나오는 것은 7425 ÷ 3 = 2475 단 하나 — 답은 (D).

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